この国を守るんだ。
俺についてこい。
行くぞ！行かない行かない。
行かないの？行かないよ。
行く！
（佐藤）行くの？行くの？これ。
ほら逃げて逃げて。
早く行った方が…行った方がいいんじゃない？
（小堺）皆さんこんにちは。
司会の小堺翔太です。
長谷川真優です。
真優ちゃん今までもいろいろやってきたけど数学には定理や公式これが付き物だよね。
そうですね。
そこで僕たちの定理を紹介しましょう。
う〜んちょっと説得力がないですね。
やっぱり駄目ですか。
気を取り直して今日のテーマは…余弦ってコサインの事ですよね。
はいそのとおり。
だから余弦定理はコサインの定理なんですね。
という事でまずはウオーミングアップからいきましょう。
三角形ＡＢＣがあります。
２つの辺の長さが３と４の時もう一つの辺の長さａはいくつになるかな？さあ真優ちゃんこの三角形のこのａの値はいくつでしょう？本当？三平方の定理を使えばいいんです。
なので…う〜ん…ブッブ〜。
えっ？三平方の定理が使えるのは直角三角形の場合だけです。
えっここ直角ですよね。
真優ちゃん９０度直角だったらほらこういう記号が付いてるはずでしょう。
ああそうか。
実はこの角の大きさは…これは意地悪ですよね。
何とでも言え。
じゃあ…そこで役に立つのが今日学習する余弦定理なんです。
さあ今回余弦定理についてお話しして頂くのは祖慶先生です。
よろしくお願いします。
（祖慶）よろしくお願いします。
前回はサインを使った正弦定理を学習してきました。
今回はコサインを使った余弦定理を学習していきます。
この２つの定理を知っていると…どんな関係なんだろうね。
そうですね。
ところで先生その余弦定理を使うとこの三角形のａの値が分かるんですか？はい分かります。
そこで真優ちゃん僕たちの今日の使命は…まるで探偵団みたいですね。
はい私もその探偵団の仲間です。
ではまずこの例題からやっていきましょう。
三角形ＡＢＣがあります。
ｂを２ｃを３角Ａを６０度とします。
２つの辺の長さとその間の角の大きさが分かっている時もう一つの辺の長さａの値は？さあこの問題はどうやって解いていきましょうか？これはまず面積の公式や正弦定理を求めた時と同じようにこの頂点Ｃからまっすぐ垂線を下ろして直角三角形を作ったらいいんじゃないでしょうか。
そのとおりです。
ＣからＡＢに垂線を下ろします。
ここの点をＨと置きましょうか。
これで直角三角形が２つ出来ましたよね。
ａの値を求めるにはどちらの三角形に注目しますか？ａがあるのは図の右側ですから右ですよね。
そうですね。
直角三角形ＢＣＨに注目すると辺ＣＨと辺ＢＨの長さが分かればａの値を求める事ができますね。
そこでまずＣＨの長さを求めてみましょう。
ＣＨの長さを求めるには今度はこちら直角三角形ＡＣＨに注目します。
直角三角形ＡＣＨではＣＡの長さが分かってて角Ａの大きさも分かっていますからこのような式が成り立ちます。
ここで両辺に２を掛けると…ｓｉｎ６０度ですがこの値は２分のルート３でした。
ですから…結論としてＣＨの長さは…ＣＨの長さが分かりました。
次は辺ＢＨの長さを求めよう。
ＢＨはＡＢの長さからＡＨの長さを引く。
ＡＨを求めるには左の直角三角形に注目して。
だから…ｃｏｓ６０度は２分の１なので…ＢＨの長さは３−１で２。
今ＣＨそれからＢＨの長さが分かりましたよね。
さあ真優ちゃんａを求めるには？ここで三平方の定理です。
そのとおりです。
さすが長谷川さん。
いよいよａの値を求めていきますよ。
え〜っと…そこでＣＨはルート３でしたから…ＢＨは２でしたから…つまり……という事です。
先生それが余弦定理ですか？はい２つの辺とその間の角でほかの辺の長さを表すのが余弦定理なんです。
これを式で表すとこうなります。
これが…考えてみましょう。
こちらは先ほどと同じ三角形で辺の長さを文字で表したものです。
ルート７を求めた要領で余弦定理を導いてみましょう。
まず初めにＣから垂線を下ろします。
直角三角形が２つ出来ました。
では辺ＣＨと線分ＡＨの長さを求めてみましょう。
まずこちらの直角三角形ＡＣＨにおいて…両辺にｂを掛けますよ。
そうすると…という事でＣＨの長さは…また…これです。
同じく両辺にｂを掛けると…ＡＨの長さが…つまりＢＨの長さは…なるほど。
このようになりますね。
ＣＨとＢＨの長さが分かりました。
では移動させて直角三角形ＢＣＨにおいて三平方の定理を使うとこの式が出てきますね。
ここからは私が先生の代わりを務めましょう。
この式の右辺を展開すると…次にｂの２乗でくくると…ここに注目！そして三角比の相互関係を思い出して。
そうです。
だから…余弦定理の正体が分かりましたね。
長谷川さんちょっと待って下さい。
正体はまだ完全には分かっていないんですよ。
実はこれだけじゃないんですね。
ほかにもあるんですか？はい。
この式とそしてもう一つこの式です。
これら３つをまとめて余弦定理といいます。
これで余弦定理が勢ぞろいした訳ですね。
はい。
今日のお題は余弦定理。
・「明るく陽気にいきましょう」余弦定理…
（ぴろき）２つの辺の長さとその間の角の大きさが分かるとほかの辺の長さが分かるんです。
こう見えても僕にも予言定理があるんです。
テストでどんな問題が出るのか予言が当たるんです。
ただ答えが外れるんです。
ヒヒヒヒ。
・「余弦定理をしっかりきっちり覚えましょ」では余弦定理を使ってこちらのウオーミングアップの問題をやってみましょう。
この三角形の場合求めるのはａの値ですからこちらの余弦定理の式に当てはめます。
するとこうなりますよ。
ｃｏｓ８９度の値は…はい先生私に任せて下さい。
ｃｏｓ８９度は…ですからこの値は９＋１６ですから…そのあとは小堺さんよろしく。
分かりました。
電卓でやりますね。
ありがとう。
０．４２。
計算しますと…ａは正の値ですから…もう一回計算お願いします。
およそ４．９６ですね。
はいありがとうございます。
晴れてａの値を求める事ができました。
さすがすばらしいチームワークでしたね。
さすがですね。
ありがとうございます。
ではここで問題ですよ。
余弦定理を使ってこの三角形のａの値を求めて下さい。
さあ真優ちゃんこの余弦定理に当てはめてみて下さい。
当てはめるとまず…ｃｏｓ６０度はえ〜っと２分の１なので…なので…お〜っとっとっと！あなたもハマる…ａの２乗＝８９−４０＝４９。
だからａの値は４９。
（不正解のブザー）ａの２乗が４９だよ。
という事は…。
真優ちゃん早とちりはいけません。
はい。
ａの２乗が４９なのでａは…なので…ａの値は７です。
はい正解です。
今度は３辺から内角を求めるという事なんですが先生これってどういう事ですか？実は…もう一つの顔ですか？はい。
余弦定理の一番上の式を変形してみますよ。
そうするとこうなります。
本当だ。
ｃｏｓＡの式に変身した。
この式の右辺に注目して下さい。
ａｂｃと３辺の長さが全て含まれていますよね。
つまり…ほかの２つも同様な事がいえます。
先生じゃあ２番目はどうなるんですか？２番目の式を変形してみますとこうなります。
同様にｃｏｓＢの値が分かってつまりＢの大きさが分かります。
また一番最後の式ですがこれも全く同じようにｃｏｓＣの値が分かればＣの大きさが分かるという式になります。
先生この変形した余弦定理が意味するところはこの三角形の……という事ですね。
はいそのとおりです。
ではこの三角形の角Ａの大きさを求めてみましょう。
さあ真優ちゃんやってみよう。
角Ａに対応する辺がここａ。
ｂがここ。
ｃがここ。
これを当てはめると…ｂの２乗なので…これを計算すると…そしてルート１３の２乗で…じゃあ角Ａの大きさはどうなりますか？三角定規を思い出して角Ａの大きさは６０度です。
はい真優ちゃん完璧です。
今回は余弦定理を学習してきました。
それではドン。
こちらです。
まずこれが余弦定理の一つの顔でした。
２つの辺の長さとその間の角の大きさが分かればもう一つの辺の長さが分かります。
そしてこちらが余弦定理のもう一つの顔です。
３つの辺の長さが分かれば３つの角の大きさを知る事ができます。
この余弦定理と前回学習した正弦定理を使うといろいろな三角形の辺の長さや角の大きさを求める事ができます。
祖慶先生ありがとうございました。
さあ僕たちの使命も無事に終わりましたね。
はいほっとしました。
皆さんホームページでしっかり復習して次回に備えましょう。
小堺さん私の予言定理では次の回辺り豪華な料理が出るんじゃないかなぁなんて。
ないと思います。
という事で皆さんさようなら。
さよなら。
さよなら。
2014/12/15(月) 14:10〜14:30
ＮＨＫＥテレ１大阪
ＮＨＫ高校講座 数学