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AtCoder Regular Contest 031 解説
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  • 1. ARC #031解説 解説スライド：水野尚人（not）
  • 2. 問題A 名前
  • 3. 問題概要 文字列が回文かどうか判定する 文字列の長さ≦１００文字 類題：ARC #019 B -こだわりの名前
  • 4. 解法１ 前と後ろで対応する文字が同じか調べる a w a w a
  • 5. 解法２ ひっくり返した文字列と同じになるか調べる chokudai→ iadukohc chokudai≠ iadukohc
  • 6. 問題B 埋め立て
  • 7. 問題概要 １０×１０のグリッドが与えられる 各マスは陸地または海 1マスだけ海を陸地にすることで、 陸地を全部繋げられるか？
  • 8. 入力例１ 赤枠のマスを埋め立てると １つの島になる
  • 9. 解法 どこを埋め立てるかを全探索して、 １つの島になっているか調べる １つの島になっているかは、あるマスから すべてのマスにたどり着けるかを幅優先探索や 深さ優先探索で調べれば良い
  • 10. 問題C 積み木
  • 11. 問題概要 N個の積み木が１列に並べられている 隣り合う２個の積み木を並べ替えて、一番高い 積み木から順に左右へ低くなるよう並び替える 最小の交換回数は？ N≦100,000（部分点：N≦100）
  • 12. 入力例２
  • 13. まず１番小さい積み木だけ移動させてみる 左右どちらかの端に移動させないといけない 残った部分は同じ形をしている 近い方に移動させれば良い 解法
  • 14. ２番目、３番目、…と同じ操作をしていくと 最小の交換回数が求められる 愚直にやると푂푁2→ ３０点 解法
  • 15. 各積み木を移動させる回数 ＝それより大きい積み木が左側と右側に何個ずつ あるか調べて、その小さい方 Binary Indexed Treeなどを用いると푂(푙표푔푁)で 計算できる 解法
  • 16. 解法 2 4 1 3 5 ２回 ２回 １はどちらに動かしても２回交換が必要
  • 17. 解法 2 4 1 3 5 ３回 ０回 ２はすでに左側にあるので動かさなくて良い
  • 18. 解法 2 4 1 3 5 １回 １回 ３はどちらに動かしても交換回数は１回
  • 19. 解法 2 4 1 3 5 １回 ０回 ４はそのままで良い
  • 20. 解法 ・最初に全要素１としてBinary Indexed Treeを 構築し、小さい方から順に見ていく ・左側と右側の和を計算する ・各積み木を調べたら、Binary Indexed Treeの 対応する要素を０に変更する ・計算量は全体で푂(푁푙표푔푁)
  • 21. 問題D 買い物上手
  • 22. 問題概要 アイテムの組み合わせると経験値が得られる 「得られた経験値÷使ったお金」を最大化 経験値をもらえる組み合わせの数≦１００ アイテムの種類数≦１００
  • 23. 入力例１ アイテム１・２・３を買うと、経験値７、使ったお金７ となり答えは１
  • 24. 解法 「平均」を最大化/最小化 →答えについて二分法 類題）ARC #026 D -道を直すお仕事 得られた経験値÷使ったお金＝푥と思って 得られた経験値－使ったお金×푥の正負で 二分法をする
  • 25. 解法 経験値をもらうかどうかをexp(푖)とし、 アイテムを買うかどうかをitem(푖)とすると 푆푖exp(푖)−푥 푇푖푖푡푒푚(푖) を最大化すれば良い。ただし、 exp푖=0,1、푖푡푒푚푖=0,1 と、푖番目の経験値に푗番目のアイテムが必要なら 푒푥푝푖=1→푖푡푒푚푗=1 が成り立たなければならない。
  • 26. 解法 푆푖>0、푇푖>0なので条件は以下のように 書き直すことができる exp푖≦1 푖푡푒푚푖≧0 푒푥푝푖≦푖푡푒푚푗 これは線形計画法になっているのでsimplex法 などで解くことができる ただし、このままではTLEを回避するのが困難
  • 27. 解法 双対問題を考えると以下のように書き換えられる 条件： 푗 푥푖푗≦푆푖 푖 푥푖푗≦푥푇푖 푥푖푗≧0(経験値푖にアイテム푗が必要な場合) 最大化： 푖,푗 푥푖푗− 푖 푆푖 これは二部グラフの最大流になっている
  • 28. 解法 入力例１ source 経験値２ 経験値３ 経験値１ アイテム１ アイテム２ アイテム３ アイテム４ sink 3
  • 29. 解法 このグラフで、sourceから出ている辺を 流し切れるなら푥が小さい 流しきれないなら푥が大きい グラフをよく眺めると値段あたりの経験値を 푥として求める形になっている 参考文献： 二部グラフにおける最大重み閉包問題（古林他）