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2個の数0と1の無限列全体の集合をXとすし、自然数全体の集合をNとする。次の...

aki529_naniwaさん

2014/5/3121:20:17

2個の数0と1の無限列全体の集合をXとすし、自然数全体の集合をNとする。次の問いに答えなさい。

(1)|X|=|B(N)|を証明しなさい。

(2)N(加算濃度)<|X|を証明しなさい。ただし、(1)の結果を使いなさい。

補足muller_der_eiserne_wandさん、ありがとうございます。

あと、muller_der_eiserne_wandさんに以前、答えて頂いた問題の結果も使わないといけないそうです。

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ベストアンサーに選ばれた回答

編集あり2014/6/100:23:51

B(N) というのは、Nの部分集合の集合という意味ですよね。

(1)以下のように自然数の下に、0と1の無限列を並べて、1に当たる数を集めると、Nの部分集合になります。

1,2,3,4,5,6,7,8,9,‥‥
0,1,0,0,1,1,0,0,0,‥‥ = {2,5,6,‥}
1,1,0,1,0,0,0,1,0,‥‥ = {1,2,4,8,‥}
0,0,1,1,0,1,0,0,0,‥‥ = {3,4,6,‥}

このように、0と1の無限列とB(N) との間に一対一対応がつくので、
|x| = |B(N)| が成り立ちます。

(2)を書き直します。
背理法で考えます。
|N|=|B(N)| とすると、「N」と「Nの部分集合」との間に一対一対応がつくはずです。これを、この前の問題のように、
a ⇔ f(a) とします。
ここで、f(a) の中にa が含まれないようなa を集めて作ったNの部分集合をYとします。Yに対応するNの元をyとします。
y ⇔ f(y)=Y ということです。
ここで、f(y)の中にyが含まれるかどうかを考えます。
Yの作り方からして、
「f(a)の中にaは含まれない」に着目すれば、f(y)の中にyは含まれないはずです。
一方、「そのようなaを集めて作った」に着目すれば、Yの中にyは含まれるはずです。
これは矛盾なので、|N|≠|B(N)| であり、|B(N)| の方が大きいのは明らかなので、|N|<|B(N)| となります。


この理屈は、非常にわかりにくいですよね。Wikipediaの「カントールの対角線論法」の「集合による表現」の所も参考にしてみてください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E...

質問した人からのコメント

2014/6/1 15:42:34

ありがとうございます。

ちょい足しを取り消しますが
よろしいですか?

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