1 + 2 + 3 + 4 + … が -1/12 となると聞いたとき、たいへん驚きました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/1%2B2%2B3%2B4%2B%E2%80%A6
そこで質問(a)(b)です。
質問(a) 「この数式が成り立つ」理由は？
[1] 「足す」の意味が、普通の数学と違う
[2] = の意味が、普通の数学と違う
[3] 1,2,3、もしくは -1/12 の意味が、普通の数学と違う
[4] 無限を扱うと、この程度の不思議さは当たり前にある
[5] これが成り立つのは普通の数学ではない、特殊な数学である
[6] [1]～[5]のどれでもない
質問(b) この不思議さと同等の不思議さを、自分でもわかるような数学の例に置き換えて説明してください。
たとえば回答例です。
(a)・・・[5]
(b)・・・リーマン幾何学は、平面ではなく球上の幾何学なので、三角形の内角の和が180度より大きくなるようなもの
それでは、よろしくお願いいたします。
※諸注意を補足欄に書きます
[6]の場合、無理矢理でOKなので、まだしも[1]～[5]のどれに近いかを教えてください。
[1]～[5]中の「普通の数学」の意味は、「高校までで学んだような数学や、それを自然に拡張した数学」くらいの意味です。「自然に拡張」には、できれば突っ込まないでください。
[4]と答える方は、この数式の不思議さは、自分には「ヒルベルトの無限ホテル」系とは別種の不思議さに思えますので、そこも説明いただけると助かります。
三浦俊彦の本で、バナッハ・タルスキーの定理が成り立つのは、球を「分割する」の意味が通常と違うからだが、それはたとえば自然数 2 を、 1+√2, 1-√2 と無理数に分割できるようなものだ・・・といった説明があり、えらく「わかった」気分になりました。そのような説明だったら最高ですね!!
(a) [6]です。これは「無限和」が通常の意味ではありません。「足す」を無限和の意味に解釈すれば[1]です。
高校では無限和は部分和の極限として定義され、それ以外にはありません。その意味では∞（あるいは+∞と明記）です。高校でそれ以外の答えをしたら間違いになります。大学でも「普通は」その意味ですが、別の意味の無限和も定義すればあります。-1/12というのは正に別な意味です。
(b) もっと簡単で代表的な例として、
1-1+1-1+…
は通常の意味では定まりません（振動）が、別な意味では、例えば第n項までの部分和をSnとして(S1+…+Sn)/nの極限と定義するならば1/2です。
> 三浦俊彦の本で、バナッハ・タルスキーの定理が成り立つのは、球を「分割する」の意味が通常と違うからだが、
実際の物体を分割するわけではありません。実際の物体は素粒子からできています。
> それはたとえば自然数 2 を、 1+√2, 1-√2 と無理数に分割できるようなものだ・・・といった説明があり、えらく「わかった」気分になりました。そのような説明だったら最高ですね!!
そんなことより更に強引です。それは「具体的な」分割方法は数学的にすら示せません。
みやど様、了解です。ありがとうございます。
2014/11/25 08:20:38ちなみに、三浦俊彦の本ではご指摘の部分は説明されていたかと思います。
ですので、彼の本には責任は無いです。
いま旅先で、記憶で乱暴な要約をしてしまい、申し訳ございません。
彼の本で、バナッハ・タルスキーの定理は、球の 移動・回転・分割 のどこに
この定理が不思議さを生み出すのかの説明があり、「分割」にあると特定し、
読者が抱くであろう、具体的な分割方法を示せないことの不思議さを緩和するために、
筆者が困惑しつつも、例として挙げていた部分でした。