タンジェント９０度がないのはなぜ？

覚えるだけなら「三角形にならない」でも「分母が０になる」でもかまわないと思います。ケーキを０人では分けられないということです。
tanθ＝sinθ/cosθ　で表され、θ＝90°の時に分母cosθ＝０になるから、存在しないとか
座標に原点を中心とした円を描いて、tanθ＝y/x　で表され、90°の時x=0だから、不可、とか。
tanθのグラフを知ってるんなら、θ＝90°から180°毎にひかれる漸近線（近づいていくけど、決して交差しない）の前後で値が急激に変化するから、覚えやすいですよね。

きちんと証明するのであれば、高校生以上なら極限を使えばいいんじゃないでしょうか。

lim[θ→+０] tan(π/2＋θ)＝－∞
lim[θ→-０] tan(π/2＋θ)＝＋∞

簡単にいうと、
９０°より大きな角度から９０°に限りなく近づけていって、その時のタンジェントを測定すると負の無限大になり
逆に９０°より小さな角度から９０°に限りなく近づけていくと、正の無限大になる。
同じ９０°なのに、二つの全く違う値をとってしまうから、tan 90°は存在しない、ってことです。