接線と円周上の点から円の方程式を求める

えっと....
多分, #7 の方針がベストです. あ, 「2直線から等距離」を使わないと得られる式が絶望的に難しくなるかも.

　No.3 さんの方針で、接線の処理に関する別解を一つ。
　円の中心と各々の直線の距離は円の半径に等しいので、点と直線の距離の公式を使えば２次方程式の重解条件を使わなくても良いですね。

中心が（A,B)にある半径ｒの円の方程式をまず書きます。
円周上のある点をその式に代入します。
円の方程式をｘで微分します。
ｄｙ／ｄｘに接線の傾きを代入します。２つ
ｘ、ｙには接線の接点を代入します。これも２つ
それで、３つの式ができますので、Ａ，Ｂ，ｒが
求まるのではないでしょうか。

#3 です.
最後のところに「あんまり使えないかなぁ」と書いたんですが, 直感には使えそうですね.
つまり, 求めたい円の中心は「点と直線から等距離にある点」であって, その軌跡は放物線になります. 一方, 「2直線から等距離にある点」でもあり, その軌跡は 2直線がなす角の 2等分線となります. 結局求める円の中心は放物線と直線の交点となります. つまり, 2個の円が求まるはずです.

「円周上のある点」は接点とは限りません。なので回答１，２は誤りです。正解は回答３の通りです。

多分, これができないってことは「円の接線」などが完全には理解できてないってことなんだよといいつつ, がんばって方程式を解いてみる方針:
１．円の方程式を仮定する: 未知数は中心の座標と半径の 3個.
２．与えられた点を通るという条件を入れる: これで方程式が 1本できる.
３．与えられた直線と接するという条件を入れる: これで方程式が 2本できる.
４．合計 3本の方程式があって, 未知数が 3個だからがんばれば解けるはず.
あ, 気付けば簡単だけど「接する」=「連立方程式が重解を持つ」ということで.
ちなみにちょっと図形の知識があれば, 「2直線に接する円の中心は, その 2直線のなす角の 2等分線上 (2本あります) にある」ということがわかります. あんまり使えないかなぁ?

＃１のご回答は実際に作図で円を求めるときに使うものです。

１行目は「接点で半径と接線は垂直になっている」ということです。

数学というと式で何でも出ると思っておられるのではないですか。一度作図してみられるといいと思います。

２本の平行でない線を引きます。その上に適当な点を一つずつ取ります。その点を円周上の点、２本の直線が接線であるとして円を作図で求めてみて下さい。

そのある点を通って接線に垂直な直線は円の中心を通ります。
よって、その２本の接線に垂直な直線の交点が円の中心になります。
半径は簡単に求められるでしょう。