二点間を通り半径Rの中心点を求めるには。

＞二点間を通る、半径Rの中心点を求めるには、
二点を通る円で半径Rの円の中心点を求めるには、
が正しい書き方です。
2点を(x1,y1),(x2,y2)とし円の中心点を(x,y)と置くと次の式が成立する。
(x-x1)^2+(y-y1)^2=R^2 … (1)
(x-x2)^2+(y-y2)^2=R^2 … (2)

(1)-(2)から
(2x-x1-x2)(x2-x1)+(2y-y1-y2)(y2-y1)=0 … (3)

(1)と(3)を(x,y)の連立方程式として解けば、通常、２組の解が出てきます。
２点間の距離＞2Rの時は解が無い
２点間の距離＝2Rの時は解は重解で２点を結ぶ線分が円の直径となる。
　円の中心は２点を結ぶ線分の中点が円の中心になります。
２点間の距離＜2Rの時は
　２組の解の座標点が円の中心になり、円の中心は２つ存在します。
　この場合の円の中心は、(1)と(3)を(x,y)の連立方程式の解ですが、
　公式とするには式が長く複雑すぎます。
　個別の点が与えられたら、その都度、(1)と(3)から連立方程式を解いて
　円の中心座標の解を求めた方がよいでしょうね。

＞(14.502,46.811)と(10.346,38.576)を通る、
＞半径4.612の円の中心点はどうやったら求まるのでしょうか？

2点間の距離
　=√(((14.50200 - 10.34600)^2) + ((46.81100 - 38.57600)^2))
　= 9.2242919

一方、円の直径=4.61200*2=9.22400
2点間の距離の方が円の直径より大なので不可能です。

もし、
＞＞(14.502,46.811)と(10.346,38.576)
2点を直径とする円なら、円の中心(x,y)を求める式は
x=(14.502+10.346)/2=12.424
y=(46.811+38.576)/2=42.6935
で計算できます。

No.2の方の説明を具体的に。
(x－14.502)^2＋(y－46.811)^2＝4.612^2・・・・1
(x－10.346)^2＋(y－38.576)^2＝4.612^2・・・・2
の連立方程式を解きます。その解が求める円の中心の座標になると思います。（2個ある）

実際に計算していませんのでわかりませんが、No.5の方が言われるように解がないかもしれません。微妙な数値だと思います。
想像ですが、ひょっとするとこれらの数値はわずかな誤差を含んでいて、実はこの2点間の距離がピッタリ与えられた半径の2倍と等しいのではないでしょうか。もしそうなら1と2の円は接しているということですので方程式の解は1個ということになり、その場合接点が求める中心です。

この例の座標では、２点間の距離が
9.224291897・・・
１/２が4.612145・・・となるので、半径より大きくなって
しまいますが。

＞(14.502,46.811)と(10.346,38.576)を通る、
＞半径4.612の円の中心点はどうやったら求まるのでしょうか？

「中心点Ｐ半径Ｒの円とは、点Ｐからの距離がＲの点の集合」です。

「点Ａと点Ｂを通る、半径Ｒの円の中心点」は「点Ａから距離Ｒの点、点Ｂから距離Ｒの点」です。

「点Ａから距離Ｒの点」とは「点Ａを中心とした半径Ｒの円」です。

「点Ｂから距離Ｒの点」とは「点Ｂを中心とした半径Ｒの円」です。

つまり「点Ａから距離Ｒの点、点Ｂから距離Ｒの点」とは「点Ａを中心とした半径Ｒの円と、点Ｂを中心とした半径Ｒの円の、交点」です。

なので「点Ａを中心とした半径Ｒの円と、点Ｂを中心とした半径Ｒの円の、連立方程式を解けばよい」です。

こんにちは。
２つの2次方程式を解くだけです（二元連立二次方程式）。
ただし、中心点の比だけが出てきます。

しかしながら、円の中心を求めるためには、本来は3点なければなりません。
2点と距離とだけで求められるのは、線分の2等分線の位置だけなのです。

前にも質問がありましたよね？
空間の場合には、3点と距離だけで求められるのは、空間を2等分する平面の位置だけになります。

なぜならば、中心点は定数項です。それに対して、X座標、Y座標は変動点です。連立方程式の場合には、変数項+1の固定解が無いと求められません。なぜかについては、ゲーデルの不完全性原理及び完全性原理を学んでみてください。

通るのは円周部分ですよね?

原点を中心とする円は、
x^2 + y^2 = r^2
と表されます。

一方、求める円の中心は、与えられた二点を中心とする、それぞれ半径Rの円周上にあることが必要十分条件ですから、この2つの円の交点を求めることになります。

すなわち、与点を中心とする円を上の式を使って表し、xとyを共通として式を解けば解は求まります。

計算は面倒なのでしませんが、

二等分線の求め方はわかりますか？
円の中心は必ずこの線上にきます。

中心のX座標を適当な文字で置き、
二点間の距離＝半径の式を解けばできるハズです。