A(a.b)とB(c.d)の二点を通り、半径rの円の式を求めよ。 a,b,c,d,rを使った「公式」...

考え方はmiyokoumonsさんが途中まで書いているので、そこは省略します。

ABの中点Cの座標（(a+b)/2,(c+d)/2)≡(m,n)、c-a≡u、d-b≡ｖと書くことにすると、
求める公式は
(x-p)^2+(y-q)^2=r^2
ただし
p=m(+-)v√{r^2/(u^2+v^2)-(1/4)}
q=n(-+)u√{r^2/(u^2+v^2)-(1/4)}

すると、
r^2/(u^2+v^2)-(1/4)>0 つまり 2r>√(u^2+v^2) AB間の距離が円の直径よりも短いときに求める円が2つあり、
r^2/(u^2+v^2)-(1/4)<0 つまり 2r<√(u^2+v^2) AB間の距離が円の直径よりも長いときに求める円が存在しない、
r^2/(u^2+v^2)-(1/4)=0 つまり 2r=√(u^2+v^2) AB間の距離が円の直径に等しいときは求める円が1つでその中心はABの中点である、
ということが分かります。

http://www.app-pc-soft.jp/file10_9.html

2点を(a,b),(c,d)とし円の中心点を(x,y)と置くと次の式が成立する。
(x-a)^2+(y-b)^2=R^2 … (1)
(x-c)^2+(y-d)^2=R^2 … (2)

(1)-(2)から
(2x-a-c)(c-a)+(2y-b-d)(d-b)=0 … (3)

(1)と(3)を(x,y)の連立方程式として解けば、通常、２組の解が出てきます。


(x-a)^2+(y-b)^2=R^2 … (1)
(2x-a-c)(c-a)+(2y-b-d)(d-b)=0 … (3)

●ここからは、誰か、力を貸してください！！！！！！！

①２点間の距離＞2Rの時は解が無い

②２点間の距離＝2Rの時は解は重解で２点を結ぶ線分が円の直径となる。
円の中心は２点を結ぶ線分の中点が円の中心になります。

③２点間の距離＜2Rの時は
２組の解の座標点が円の中心になり、円の中心は２つ存在します。
この場合の円の中心は、(1)と(3)を(x,y)の連立方程式の解ですが、公式とするには式が長く複雑すぎます。

中心の座標が（（a+c)/2, (b+d)/2)で 半径がｒの円の方程式です。

（X-（（a+b)/2）)~2+(Y-（(b+d)/2）)~2＝r^2という式です--答え