取り急ぎご連絡までってどういう意味？

取り急ぎ（主に手紙で）諸々の礼儀・説明を省略し用件だけを伝える意なのです。
あぁだの，こうだのと，説明しいると話が長くなるので。取り急ぎ連絡まで，という言葉で〆るのです。
日本語って便利でしょう？言葉を短縮して早く終わる作戦に便利なのです。

「取り急ぎご連絡まで」

つまり、本来ならお会いしてお話したいことや、詳しくお話したいことの結論を頭に持ってくるとこうなりますね

「後日、落ち着いたら連絡します」

と置き換えれば簡単ですね

今、きちんとご連絡を差し上げなければならないのですけど、その文章を作る時間が取れません。
ので、失礼とは思ったのですが、きちんとしたご連絡は後日として、
取り急ぎご連絡をしなければと思い、この文章を書いている次第です。

と、こんなかんじですかね。

お礼は後日に回して、今回は事が滞り無く終わったので、安心してください。ということです。