画像の状況と使い方の問題でいろんな方法が考えられます。

現在、背景の紙の目が出ているのでしたら、残念ながらどのソフトを使っても苦労されるのではないかと思います。

背景は一見、白に見えると思いますが、実は白っぽいいろんな色が混在しています。
背景を透明にするのはＧＩＦにするのが一般的でしょうけど、特定の色を指定して、その色を透明と定義するのが一般的だったと思います。
（使った経験のあるソフトも多くはありませんので、自分の経験の範囲ですが）
そうすると、多くの色が混在するのであれば、どれか１色を指定しても、大半の紙の目は残ることになります。

対策としては、色々なアプローチがあると思いますが、まず、スキャンする時点でのモードの設定があります。
紙の目が気になるのでしたら、写真モードでスキャンしていないでしょうか？
もし、そうならイラストとかのモードがあったはずですからそちらのモードにしてください。
それともう一つ。
デジカメの普及にしたがって、ＪＰＧが気楽に使われる事が多いのですが、ＪＰＧは圧縮形式ですので、本来イラストなどには向いていないファイル形式です。
読み取ったものはＢＭＰ形式で保存するようにした方が、なにかと都合が良いはずです。

ＢＭＰは白黒、１６色、２５６色、２４ビット色と４種類のモードがあり、任意に変えることが出来ます。

たとえば、今回の様に紙の目が目立つようなときは、ペイントで開いて、「名前をつけて保存」→「ファイルの種類」を「16色ビットマップ」として（名前自体も変えてくださいね、元のデーターが上書きされますから）保存すると、背景はほとんど白になってくれるはずです。
その状態で色を反転させ（背景が黒になります）、イラストの部分を消してやり、もう一つペイントを立ち上げもとの画像を開きます。
反転した画像をコピーして、元の画像にかぶせ、背景部分の色を消してやれば背景は白一色になります。

こうなるとＧＩＦにするのも楽なはずです。

ちなみに、私の場合はペイントとオフィス2002まで標準だったPhotoEditorを使ってきました。（ソフトの費用は実質ゼロでした）
その分手間はかかりましたけどね。

他の方が紹介してくれたソフトで上手く行くといいですね。私の心配が無駄になることを祈っています。