確かに，日本は韓国に対して何度か援助・円借款をしています。
以下，一問一答式に回答します。

＞質問１）どうして日本政府は韓国にこのような送金をするのですか？

最初に払われることになったのは，『韓国に対する日本の経済協力、及び、両国間の財産、請求権の完全かつ最終的な解決（通称・日韓基本条約）』によるものです。
その後，国際社会貢献の一貫として始められたODA政策によって，何度か援助を行なっています。
もちろん，韓国だけでなく中国にも他のアジア各国，アフリカ諸国にも行なっています。



＞質問２）どのくらいの額を送金しているのですか？

ODAに関しては『日韓基本条約』締結時の１９６５年から１９９０年まで計２６回，合計総額5962.45億円となるようです。
返済に関しては２０１１年までには回収し終わったようです。


＞質問３）どこのサイトを見ればハッキリと分かりますか？

ざっと検索した結果，下記のブログに纏めてあるのが出典がしっかりしてる分信用できそうです。
http://d.hatena.ne.jp/scopedog/20120513/1336924865

もちろん，匿名ブログですので鵜呑みにはできませんが，少なくとも２ちゃんの纏めサイトよりは信頼出来ると思います。
もし，正確に知りたいのであれば，公文書等を緻密に調べる必要があるでしょう。

＞質問４）この送金に関しては一般的には公表してないのですか？

していますよ。
外務省のODAのページから見られます。
１９９０年までに関しては，こちらを参照に。
http://www.mofa.go.jp/mofaj/gaiko/oda/shiryo/jisseki/kuni/j_90sbefore/901-03.htm

こちらでも検索できますのでご参考に
http://www2.jica.go.jp/ja/yen_loan/index.php

ODAの歴史についてはこちらを参照
http://www.mofa.go.jp/mofaj/gaiko/oda/shiryo/pamphlet/oda_50/ayumi1.html



この他に，近年話題になったのが，日韓スワップ協定というものです。
こちらは直接お金を払うのではなくて，外国為替市場であまりにも不利な状況に陥ったり、とある国の金融危機が表面化した際に、中央銀行同士（原則二国間）が取引をして為替市場に介入し、協定で定められた換算レートで自国通貨と引き換えに相手国の通貨を融通してもらうと決めた協定のことをいいます。
先の民主党政権の時に７００億ドルに引き上げようという話が出てました。
ですが，政権交代で今年７月期限の３０億ドル分を延長しないことに決定しました。
これで，両国の通貨交換枠は１００億ドルに縮小することとなりました。

ではでは、参考になれば幸いです。

知恵袋で同様の類似質問があります。
＞結論として、韓国への直接資金援助は行わないというのが日本の最終決定事項
とはいいますが。
資料はさいしんではないかもしれません。

昔ならＯＤＡとか色々あったと思うが

今はないと思う。それと捉え所のない名称だし、無いと証明できないからな

’９７年のアジア通貨危機に連鎖する韓国の経済危機のときの１００億ドルの話なら
準備はしたが実際に韓国にいっていません。
http://www.mof.go.jp/jouhou/hyouka/honsyou/14nendo/hyoukasho/sougouhyoukasho/ronten1.htm
在るように確かに第二線準備に日本がありますが、準備のみで実行されていません。なので返してはいないのも当然で

それは下記にあります。日本の民間銀行が短期債務返還の猶予をしたみたい

http://www.jbic.go.jp/ja/report/jbic-today/2007/sp/03/index.html
インドネシア、韓国に対しては、IMFと世銀、アジア開発銀行（ADB）の3機関が貸しています。この二カ国については、パッケージのなかに日本や米国も名を連ねてはいますが第２線準備ということで実際には出しておらず、マーケットはほとんど評価しなかったですね。
韓国の場合は、IMFが支援を決めたのが12月初めでしたが、やはり額が足りなくて騒ぎがおさまらなかった。そこで12月24日にIMFとG7が協力して、貸し手側の外国銀行に対して、貸出回収により多数の債務不履行者を生むより残高維持の方がいいのではと行政指導をして、一応騒ぎがおさまりました。ここから教訓を導くのは難しいが、貸し手責任を問う意味で一つの先例になり、再建に協力するメカニズムをつくるべきかどうかという議論のきっかけになりました。ここで指摘したいのは、韓国の場合、銀行が銀行に貸していたことです。ラテンアメリカのケースでは、債券発行による資金調達であったため不特定多数の債権者がいましたが、韓国では貸し手が限られた数の銀行であったため行政指導が有効に働いたといえ、興味深い解決方法だったといえます。

根本的には、債権者に責任を問うメカニズムをつくるのが重要だと思いますが、それは未だにできていないというのが現状です。

>日本政府が毎年韓国に「経済援助金」と「貸付金」を送っていると

　→毎年は送ってません

質問１）どうして日本政府は韓国にこのような送金をするのですか？
　毎年は送ってませんが、過去に送った事はあります
　近年では1997年に送ってます。これは韓国の金融危機が原因です

質問２）どのくらいの額を送金しているのですか？
　1997年の場合はと日本から１００億ドルの融資と日銀による韓国外債の債務保証です。無論返済義務はあります。
　その時、IMF経由で貸し付けた４５０億は全て返済していますが、日本の貸付金はまだ未返済です

質問３）どこのサイトを見ればハッキリと分かりますか？
　毎年は計上してませんので、それはアリマセン


質問４）この送金に関しては一般的には公表してないのですか？
　過去は全て公表してます
　支援するお金は全て日本の税金なので、公表しないとつじつまがあいません。又今現在も韓国は日本にお金を借りようとしてます

　無論、自民案のようにIMF経由なら金利も付く上、全額返ってきますので安心ですが、今の民主はそれただの送金なので又帰ってこない危険性があります

参考）
http://workingnews.blog117.fc2.com/blog-entry-1598.html