How to use/think the State Space Model

状態空間モデルの考え方・使い方 TokyoR #38 2014/4/19 @horihorio

自己紹介 1 / 362014/4/19 • Twitter ID: @horihorio • お仕事：分析コンサルタント • 興味：統計色々/DB/R/Finance/金融業/会計 • 過去の発表：ここ • 最近の出来事 • 金融業以外の分析にも進出 • 主に週末は子ども（そろそろ2歳）の相手中 • 4月から何故か転職した状態空間モデルの考え方・使い方

紹介しないこと 2 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方 1. Rの色々な操作 2. 線型回帰の説明 ⇒ 前提知識とします 3. 状態空間モデルの色々な理論！別の本や資料を見て下さい！

対象：時間経過に伴い変わるもの(アクセス数、株価…) ↑の変化を数式表現したもの例えば：（最初に学ぶ）ARIMAモデルで Web会員登録者数を予測 𝑦𝑡 = 0.86𝑦𝑡−1 + 0.34𝑦𝑡−2 + 𝜀𝑡−1 + ⋯ 時系列モデルって入力：過去の値出力：将来の値で、なに？ 3 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方

状態空間モデルの完成イメージ 4 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方同じく Web会員登録者数を予測 𝑦𝑡 = 𝐻𝑡 𝑥 𝑡 + 𝑤𝑡 （観測方程式） 𝑥 𝑡 = 𝐹𝑡 𝑥 𝑡−1 + 𝐺𝑡 𝑣 𝑡 （状態方程式） • 𝑦𝑡 ： Web会員登録者数 • 𝑥 𝑡 ： SEO, Listing, TVCMコスト、キャンペーン、etc… ＋見えない状態（後述）などのベクトル（参考 𝑣𝑡, 𝑤𝑡：ノイズ, 𝐹𝑡, 𝐺𝑡, 𝐻𝑡：係数）入力：色々な要因出力：将来の値構造が見える次何する？を考える

今回のメッセージ 5 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方これを、何回も繰り返すだけ状態空間モデルは、線型モデルの拡張！

アジェンダ 6 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方 1 線型回帰の拡張とは？ • ↑を考えることで、状態空間モデルの発想に慣れてください 2 状態空間モデルの考え方 • 状態空間モデルの得意な面、不得意な面の両方を知ってください 3 状態空間モデルの使い方 • 得意/不得意を踏まえ、ではどう使うべきか？を考えていきましょう

7 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方１．線型回帰の拡張とは？

【中学の復習】切片とは？例： 𝑦 = 2 + 𝑥/2 𝑥 = 0 のとき 𝑦 = 2 。これを切片という。言いかえ： • 説明変数と無関係のゲタ • 現状の持ち点 8 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方 𝑥0 𝑦 2 切片

状態空間モデルの式 𝑦𝑡 = 𝐻𝑡 𝑥 𝑡 + 𝑤𝑡 （観測方程式） 𝑥 𝑡 = 𝐹𝑡 𝑥 𝑡−1 + 𝐺𝑡 𝑣 𝑡 （状態方程式） • 𝑥 𝑡 ：状態 • 𝑣 𝑡 ：状態ノイズ（平均ゼロの正規分布） • 𝑦𝑡 ：観測値 • 𝑤𝑡 ：観測ノイズ（平均ゼロの正規分布） • 𝐹𝑡, 𝐺𝑡, 𝐻𝑡 ：それぞれ 𝑘 × 𝑘, 𝑘 × 𝑚, 𝑙 × 𝑘 の行列 9 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方これをいきなり理解する、って難しい。。。両者を同時推定

話を簡単に。状態を一定とすると… 状態空間モデルの式 𝑦𝑡 = 𝐻𝑡 𝑥 𝑡 + 𝑤𝑡 （観測方程式） 𝑥 𝑡 = 𝐹𝑡 𝑥 𝑡−1 + 𝐺𝑡 𝑣 𝑡 （状態方程式） • 𝑥𝑡 ：状態 𝑥𝑡 ：説明変数 • 𝑣 𝑡 ：状態ノイズ（平均ゼロの正規分布） • 𝑦𝑡 ：観測値 • 𝑤𝑡 ：観測ノイズ（平均ゼロの正規分布）単なる重回帰 10 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方本報告で言いたいたった一つのこと

では状態方程式って 11 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方 𝑦𝑡 = 𝐻𝑡 𝑥 𝑡 + 𝑤𝑡 （観測方程式） 𝑥 𝑡 = 𝐹𝑡 𝑥 𝑡−1 + 𝐺𝑡 𝑣 𝑡 （状態方程式） • 𝑥𝑡 ：状態 • 𝑣 𝑡 ：状態ノイズ（平均ゼロの正規分布） • 𝑦𝑡 ：観測値 • 𝑤𝑡 ：観測ノイズ（平均ゼロの正規分布） 𝑥 𝑡 = 𝑆𝐸𝑂𝑡 𝐿𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑔𝑡 𝑇𝑉𝐶𝑀𝑡 𝐶𝑎𝑚𝑝𝑎𝑖𝑔𝑛𝐹𝐿𝐺𝑡 … 状態 𝑡 説明変数切片

状態方程式って 12 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方まとめると：説明変数＋時間とともに動く切片 ⇒「ゲタ」が都合よく動くので、柔軟性が高い • なことは、以下Blogに書いている http://logics-of-blue.com/ローカルレベルモデル/

その他状態空間モデルのご利益 13 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方 • 状態方程式、観測方程式の両方を同時推定している • モデル作成→残差を目的変数とし更にモデル、ではない • データの増加や、昔から現在へと進むに連れて、勝手に係数が更新される ⇒（平たく言えば）勝手に賢くなる • 正確に言えば：予測分布、フィルタ分布、平準化分布を順次推定＆更新する • 弾道ミサイルの計算に採用された理由かも？等々。詳しくは参考文献を。

14 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方２．状態空間モデルの考え方

状態空間モデル＝時系列モデル＋線型モデル使い方も足し算？なお話デス時系列モデル＆線型回帰モデル 15 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方時系列モデル線型モデル状態空間モデル

発想：過去の自分から、将来の自分を当てたい ARIMAモデルの場合 𝑥 𝑡 = 𝑎𝑖 𝑥𝑡−𝑖 + 𝑒𝑡 𝑝 𝑖=1 + 𝑏𝑖 𝜀𝑡−𝑖 + 𝜀𝑡 𝑞 𝑖=1 AR （自己回帰） MA （移動平均） I （和分）誤差項 16 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方時系列モデルとは？

時系列モデルとは？（線型モデルと比較しての）メリット/デメリット例： • メリット • 理論面：観測値どおしの相関が導入されている • 実務面：データ収集がそこそこ簡単 • デメリット • 理論面：誤差が累積するので、長期予測はダメ • 実務面：そんなに観測点は多くない、解釈し難い 17 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方

線型モデルとは？略w （時系列モデルと比較しての）メリット/デメリット例： • メリット • 理論面：（基本モデルなので）道具や対応法が豊富 • 実務面：データ数大、結果解釈が容易な場合も • デメリット • 理論面：「変数間が独立」の仮定が厳しい… • 実務面：データ収集、前処理工数が膨大 18 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方

では状態空間モデルとは？理論面を話しても面白く無いので、実務面では： • メリット • 時系列の構造が可視化できる • 状態成分で、明示的に周期性・トレンドが導入可能 • デメリット • よく部分最適解に陥り、変な係数が出てくる • 計算コスト（時間・工数）が高い ⇒モデル更新をためらってしまいがち 19 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方

20 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方３．状態空間モデルの使い方

要は、一番基礎的なカルマンフィルタですが、時間と体力＆気力的に無理でした…。おわびに：実務で使ってみての個人的FAQを列挙でお茶を濁しマス本当はやりたかったこと：パッケージdlmを使った、 TOPIXとCI先行指数の各成分との分析例最初におわび 21 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方

線型回帰：結構対応可能（ただし、IT/数理両面での前処理技術に依存）状態空間：結構無理観測点が少ないため、変数数が少なくなりがち（次ページ参照） ⇒ ヒヤリング＆コミュニケーション時の留意事項効果として、これも、あれも、…考えられるけど、モデルに是非とも盛り込めない？ケース1 22 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方

「変数数が少なくなりがち」な理由線型回帰時系列 23 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方ケース1 データセット（非ゼロ）観測数Ｎ候補変数数 M データセット（非ゼロ）観測数Ｎ候補変数数 M 𝑁 ≤ 𝑀 3年間の月次データならば、方程式の最大変数数は36 ですよね…

明示するには：説明変数に導入すれば良い。（FLGを入れる、sin/cos成分を入れる、等々）ただ問題点：説明変数数はそう増やせない（理由は、ケース1のとおり） ⇒対象の周期成分が強いならば、ARIMAモデルの方がむしろ適当といえる。漠然と「状態」で説明されても困る。年間、週次での周期成分は明示できないか？ケース2 24 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方

まずVARモデルとは？ ⇒ ARモデルの多変数版 𝑋𝑡 = 𝐴𝑖 𝑋𝑡−𝑖 𝑝 𝑖=1 違いは、係数の決定時点 • VAR：推定時点＆期間でのスナップショット • 状態空間：逐次更新される VARモデルも、他の変数効果が導入できる。状態空間モデルとの違いは？ケース3 25 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方将来予測の際、状態空間では「将来の状態」についての仮定が導入可能。VARは何も出来ない。

説明変数に自己回帰(𝑦𝑡−1, 𝑦𝑡−2, ⋯ )を入れて良いか？私がむしろ聞きたい(わりとマジで) 今のところ… 入れないことにしている • 理論面：単位根（次ページ参照）が怖い • 実務面：説明変数を解釈する際、循環参照になる ⇒ 実質、解釈できない 26 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方ケース4

そもそも単位根とは一体？詳細は、TJOさんHPや、右の資料とか端的にいえば： 𝑦𝑡 = 𝛽 + 𝛼𝑦𝑡−1 を仮定して係数を推定する際、もし 𝛼 が1に近いと（ランダム・ウォーク）、t 統計量が発散（𝑝値→0）する。 ⇒ ランダム・ウォークなので、将来予測が全く当たらない、「高度に有意」なモデルとなってしまうorz 27 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方ケース4（補足）

係数推定の際、尤度が部分最適解にならないか？ • はい。大概なりますw • 実務的には • 部分最適解でも、大幅な業務効率改善になる • 同じ労力ならば、必死にGlobal Optimal求めるより、お客様と、運用や活用法を相談する方が報われることの方が多い、との実感 28 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方ケース5

その他何かあります？ • ネタ切れなので、会場に丸投げw • 質問は、資料UPDATEの際に反映させる、かも知れません 29 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方ケース6

30 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方まとめ

ビジネスでのデータ分析って 31 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方ビジネスの場合 • 分析して儲かる • 相手が納得するが大前提。で • 「翻訳」の妥当性 • 「1.から2.」＆「A)からB)」の両方が妥当かの両方を詰めるのは大変、だけど面白いです。 1. ビジネスの問題を A) 数学の問題に翻訳し B) 問題を数学的に解いて 2. 再度ビジネス世界に翻訳

• J. D. Hamilton, “Time Series Analysis,” Princeton Univ. Press, 1994 和訳：沖本・井上(上下巻)、シーエーピー出版、2006年は絶版 • 北川源四朗『時系列解析入門』岩波書店、2005年 →中級者向け理論書。状態空間モデルベースの解説 • J.J.F.コマンダー、S.J.クープマン、和合肇（訳）『状態空間時系列分析入門』シーエーピー出版、2008年 →具体的にデータを分析している過程もあり参考文献 32 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方

33 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方 Appendix

過去の Tokyo.R. で触れられた資料 http://lab.sakaue.info/wiki.cgi/JapanR2010?page=%CA%D9%B6%AF%B2%F1 %C8%AF%C9%BD%C6%E2%CD%C6%B0%EC%CD%F7#p15 ARIMAでないが関連して 34 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方時系列モデルの解説

使い方に側面を当てると... http://www.slideshare.net/horihorio/howtousetimeseries 35 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方時系列モデルの解説とりあえず自己営業w

（一般化）線型モデルでの仮定数点キツイ仮定を置いていることに留意 1. 各観測値は独立 ⇒ 時系列データではありえない「状態空間は重回帰の拡張」は、この点で若干ウソ 2. 残差の分布が分かっている 3. 分散の構造が分かっている 4. 説明変数に何か変換（リンク関数）をし、線型結合することで、応答変数が表現できる引用源：R-bloggersより（→これオススメ！） http://www.r-bloggers.com/checking-glm-model-assumptions-in-r/ 36 / 362014/4/19 状態空間モデルの考え方・使い方

How to use/think the State Space Model

by horihorio on Apr 19, 2014

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