対象が線形時不変なら

定常正弦波を入力して、出力が定常に落ち着いたときの振幅、位相から伝達関数をもとめても、
インパルス（あるいはランダムな信号、あるいは過渡的な信号)を入力して、入力信号のフーリエ変換と出力のフーリエ変換から伝達関数をもとめても、
原理的には同じ伝達関数が得られます。
（線形系なら、入力信号を周波数成分に分解することが出来る＋出力信号は入力信号のそれぞれの周波数成分に対する応答の和で表わされる　ので）

正弦波を使ったときには、一回の測定で（ひとつの周波数成分しか信号中に無いので）（周波数）伝達関数の一点が求まるだけなのに対して、過渡信号やインパルスのように多くの周波数成分をもつ信号を使えば、一回の測定で伝達関数の全体像が得られます。
が、一定値に収束した正弦波を使って（時間をかけて）伝達関数を求めるほうが、入出力間の相関の高い測定結果が得られ、誤差(揺らぎ）の少ない測定が出来るようです。

見方を変えて、
1. ある伝達関数(周波数特性)が既知(G(ω))の系が有る
2. これに以下の信号を入力したらどのような出力が得られるか
2-a 周波数ω0の正弦波
2-b 理想的なインパルス信号
3. 与えた入力と得られた出力から、伝達関数がどのように求まるか。

の順で考えてみては如何でしょうか。(話を簡単にするために、入力信号を理想化して、正弦波とインパルスにしました)

a. 正弦波(定常)をいれた場合、
・入力(X)、出力(Y)は周波数ω0の成分だけをふくんでいて、
Y=G(ω0) X になります。出力に影響するのは、伝達関数のうち、周波数がω0の点だけです。他の周波数でどんな特性になっていても、出力には影響しません。
・で、YとXから何が求まるかとなると、
Y/X=G(ω0)ですので
伝達関数のうち周波数がω0の点だけが求まります。(そのほかの周波数については、入力にも出力にも成分が含まれていませんので、G(ω0以外)=0/0 となって求まりません。)
・このため、伝達関数全体を求めるには、周波数ω0を変えての測定が必要になります。

・正弦波でなくて、歪んだ周期波形の場合には、入力信号(と出力信号)が基本波周波数の整数倍の成分だけを含みます。(ω0,2*ω0,3*ω0...)。このため、伝達関数を求めると、これらの周波数の点(G(ω0),G(2*ω0),G(3*ω0)...)だけが求まります。これらの周波数の間では点は求まりません。

b. 理想的なインパルスをいれた場合。
・理想的なインパルス（入力)信号は全ての周波数成分を等量含みます。
・このため、出力Y(フーリエ変換したもの)は
Y(ω)＝G(ω)X(ω)で、かつ、X(ω)＝一定 (全ての周波数成分を等量含むから。一定値をX0とおく) ですから
Y(ω)＝G(ω)X0
となります。
・Y(ω)/X(ω)(=Y(ω)/X0)＝G(ω) と伝達関数全体が求まります。

・通常の過渡試験(やランダム信号入力)では、ちょうどa.とb.の中間の状況になっています。(X,Yともに全体の周波数成分をもっている。が、X(ω)は一定値じゃなくて、ある分布になっている)

と、こんな具合で如何でしょうか。

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ちなみに、電気の関連でも、ランダム信号による測定てのはあります。全ての周波数を含む白色雑音(ホワイトノイズ)を入力して、出力を周波数分析して、周波数特性を観測する、というのがこれに該当します。

No.1のymmasayanです。補足質問にお答えします。

>　スイープ試験を前提にしておられますでしょうか？
アンプやフィルターの周波数特性を見るにはスイープ試験をします。
もっとも設備が整っていればの話ですが。

>　構造物では・・・スイープ試験は大変です。
>　そこで、広帯域波を一度に入れてFFTをかけるわけです。
>　その縦軸の意味がわからずに悩んでいます。
入力波のＦＦＴと出力波のＦＦＴということですよね。
だとするとどちらも波の振幅（dＢ？）を表していると思いますので
出力／入力（dＢなら出力－入力）をとればいいと思います。（釈迦に説法かも？）

>　電気の世界でもインパルス応答試験やランダム加振（ランダム印加？）試験などは
あるのでしょうか？

電気ではスイープ試験が比較的簡単に出来ますのでそれ以外の方法は余り聞きません。
特にランダム印加試験は聞いた事がありません。
制御の世界ではステップ応答試験をする事はあるようです。

構造物には門外漢ですが。
電気の世界では定常状態での伝達関数を求めます。

でも過渡状態で求めても原理的には問題ないと思います。
実際上は過渡状態では計測や演算が大変だとは思いますが。