スポンサーサイト　問題集３　メモ帳

θ=const {cosnθ}が収束するようなθの条件(滋医)
和がnとなる2つ以上の自然数の組み合わせの積の最大値(名市医)
f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x はx=pで極大.a≠0 ,aが動く。r≧p,(r,f(r)) でr動く,図示(一橋後期)
π＜3.1416を用いて，sin1/2＞0.4764 を示せ。(誘導:α実数，β=sinα,γ=sinβのとき1/2*(|α|+|γ|)≧|γ|) (群馬医)
100/120　＜sin1　＜101/120　を示せ(御茶ノ水)
複素数zを自然数a,b((a,b)=1)でz=a+biと定める。a=b=1でないなら,(a+bi)^nは実数でないことを示せ。/a=b=1のとき,(a+bi)^nが実数となるnは？/zが満たす実数係数の二次方程式は?/a^2+b^2は3以上の奇数で割り切れる?　(京大入試一般化)
ヴィノグラドフの問題(レイリーの定理):α,βは正。[αn],[βn]が全ての自然数を尽くし、かつ1つずつ現れる　⇔　α,βが無理数かつ1/α　+1/β　=1 「←」側が慶応理工で出題　「→」は大難問
パスカル三角形の第n行の部分和をP_n=Σ[k=0,n]C(n,3k) Q_n=Σ[k=0,n]C(n,3k+1) R_n=Σ[k=0,n]C(n,3k+2) と定める。k>nのときはC(n,k)=0 それぞれ一般項を求めよ。(東大後期)
実数xに対し,関数を定める。 x＜1/2 → f(x)=x/(1-x) x≧1/2 → f(x)=(2x-1)/x また,自然数nに対し,関数列{f_n(x)}を初期値をxとして,f_1(x)=f(x) , f_n(x)=f_(n-1)(f(x)) と定める　(1) f_k(x)=0 となる自然数kが存在するならば,初期値は有理数であることを示せ。 (2) 初期値がどのような数のとき,f_k(x)=0となるような自然数kが存在するか。 (3) 関数列が収束するための,初期値xの必要十分条件を求めよ。(慶応医改)
2^(3^n)+1は何回3で割れるか?(図情)
m!=n^2-3の自然数解を全て求めよ(日医)
１≦ｎ＾ｍ－ｍ＾ｎ≦１７，２≦ｎ≦ｍを満たす自然数の組（ｍ，ｎ）をすべて求めよ。(都立)
n!がm(ｎ,mは自然数,n＞m＞1)で割り切れる回数をｆ(n,m)と表すとき,ｆ(n,m)≦(n-1)/(m-1) であることを示せ。また等号成立はどのようなときか。→系:(1)ｎ！がm＾ｎで割り切れるような、ｎ、mの組は存在しない