スポンサーサイト　問題集その２　メモ帳

京都大学入学試験　数学(理系)　予想問題

[1]
　次の各問に答えよ．
(1) (a^3+1)/2=(2a-1)^(1/3)をみたす実数aを求めよ．
(2) 定積分∫[1,2]x^4/(1+2^x)dxを求めよ．

[2]
　鋭角三角形ABCの内部には，∠APB=∠BPC=∠CPAを満たす点Pが存在する
ことを証明せよ．

[3]
　実数a,b,cがa≦b≦cを満たしているとき，min{a,b,c}=aと定義する．
x,yが正の数を動くとき，min{x+y,1/x,1/y}のとりうる最大の値を求めよ．

[4]
　Q(x)はxの多項式で，任意の実数xに対して
　　Q(x+2)-(x+1)Q(x+1)+xQ(x)+2Q(x-1)=0
が成り立つものとする．Q(1)=1のとき，Q(x)を求めよ．

[5]
　次の命題(p),(q)について，正しいかどうか答えよ．正しければ証明し，
正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．
(p) △ABCにおいて↑AB・↑BC=↑BC・↑CA=↑CA・↑ABが成り立つならば，
　　△ABCは正三角形である．
(q) △ABCにおいてAB*cosA=BC*cosB=CA*cosCが成り立つならば，
　　△ABCは正三角形である．

[6]
　2つの整数u,vに対し，その最小公倍数をlcm(u,v)と書くことにする．
正の整数からなる数列{a[n]}がlim[n→∞]a[n]=∞を満たしているとき，
lim[n→∞]Σ[k=1,n]1/lcm(a[k],a[k+1])は収束することを示せ． 京都大学入学試験　数学(理系)　予想問題

[1]
　次の各問に答えよ．
(1) (a^3+1)/2=(2a-1)^(1/3)をみたす実数aを求めよ．
(2) 定積分∫[1,2]x^4/(1+2^x)dxを求めよ．

[2]
　鋭角三角形ABCの内部には，∠APB=∠BPC=∠CPAを満たす点Pが存在する
ことを証明せよ．

[3]
　実数a,b,cがa≦b≦cを満たしているとき，min{a,b,c}=aと定義する．
x,yが正の数を動くとき，min{x+y,1/x,1/y}のとりうる最大の値を求めよ．

[4]
　Q(x)はxの多項式で，任意の実数xに対して
　　Q(x+2)-(x+1)Q(x+1)+xQ(x)+2Q(x-1)=0
が成り立つものとする．Q(1)=1のとき，Q(x)を求めよ．

[5]
　次の命題(p),(q)について，正しいかどうか答えよ．正しければ証明し，
正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．
(p) △ABCにおいて↑AB・↑BC=↑BC・↑CA=↑CA・↑ABが成り立つならば，
　　△ABCは正三角形である．
(q) △ABCにおいてAB*cosA=BC*cosB=CA*cosCが成り立つならば，
　　△ABCは正三角形である．

[6]
　2つの整数u,vに対し，その最小公倍数をlcm(u,v)と書くことにする．
正の整数からなる数列{a[n]}がlim[n→∞]a[n]=∞を満たしているとき，
lim[n→∞]Σ[k=1,n]1/lcm(a[k],a[k+1])は収束することを示せ．


453 ：大学への名無しさん：2012/04/12(木) 03:06:34.84 ID:U2SqYjNh0
>>446
[6]は問題に欠陥あり
点列a[n]として1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,,,,
のように取ると
lim[n→∞]Σ[k=1,n]1/lcm(a[k],a[k+1])
≧1/1+1/2+1/2+1/3+1/3+1/3+1/4+1/4+1/4+1/4+…=∞

454 ：大学への名無しさん：2012/04/12(木) 09:07:57.70 ID:zM5KP6UP0
>>453
失礼、a[n]は狭義単調増加でお願いします





以下スレに貼られていた解答なので注意(自分も見ていないので正誤はわかりません)

451 ：大学への名無しさん：2012/04/12(木) 01:12:29.94 ID:U2SqYjNh0
スレが殺伐とした雰囲気になって投下するのが怖いw
>>409-410
[2]同じ平行四辺形２枚を隣り合わせてPP'に補助線を入れる
[4] cP(x)=(ax+b)Q(x)
(cは自然数でQ(x)は整数係数の多項式で係数の最大公約数は1)
の形に書け、plcとなる素数pが取れるとすると
plaかつplbまたはplQ(x)となり矛盾するのでc=1
[6] 平均値の定理より
∫[x_{k-1},x_{k}]f(x)dx=(x_{k}-x_{k-1})f(s_{k})
となるs_{k}(1≦k≦n)が取れる
このときlim[n→∞](1/n)Σ[k=1,n]f(s_{k})=∫[0,1]f(x)dxが示せる
またf(x)は[0,1]上で一様連続なので十分大きなnに対して
l(1/n)Σ[k=1,n]f(x_{k})-(1/n)Σ[k=1,n]f(s_{k})l<εがいえるので
lim[n→∞](1/n)Σ[k=1,n]f(x_{k})=∫[0,1]f(x)dx

452 ：大学への名無しさん：2012/04/12(木) 02:44:03.32 ID:U2SqYjNh0
[6] 区間[x_{k-1},x_{k}]} (1≦k≦n)の長さの最大値をΔ_{n}とする
∫[0,1]f(x)dxの値をAで表しf(x)の[0,1]での最小値がmとすると
mΔ_{n}≦A/nなのでΔ_{n}→0 (n→∞)
したがってlim[n→∞](1/n)Σ[k=1,n]f(x_{k})=A


456 ：大学への名無しさん：2012/04/12(木) 23:18:46.86 ID:409MWoQP0
以下背理法による略解

ある[a,b]で題意の関数fが存在したとする
a＜c＜d＜b なる有理数 c,dが存在
[c,d]で m＜f(x)＜M なる有理数m,Mが存在
g(x)＝(M－m)(x-c)/(d－c)＋m－f(x)とおく
中間値の定理よりあるα∈(c,d)があって，g(α)＝0


457 ：大学への名無しさん：2012/04/12(木) 23:39:23.73 ID:QFhYGy0n0
↑αが有理数かはわからないんじゃ…

458 ：大学への名無しさん：2012/04/12(木) 23:40:23.25 ID:QFhYGy0n0
ごめん、いいのか

459 ：大学への名無しさん：2012/04/13(金) 01:04:56.77 ID:jUFZBTFg0
a[k]とa[k+1]の最大公約数をp[k]で表す
p[k]≦√a[k]となるk全体の集合をAで表し、それ以外のk全体の集合をBで表す
k∈Aのときlcm(a[k],a[k+1])=a[k]a[k+1]/p[k]≧a[k]√a[k]
ここで∫[1,∞]1/(x√x)dx<∞より
Σ[k∈A]lcm(a[k],a[k+1])≦Σ[1,∞]1/(k√k)<∞
次にI_{n}={2^{n},2^{n}+1,,,2^{n+1}-1}とし、J_{n}=I_{n}∩Bとする
k∈J_{n}のときp[k]l(a[k+1]-a[k])なのでa[k]+2^{n/2}従ってJ_{n}の元の個数は2^{n/2}以下で、あとlcm(a[k],a[k+1])≧2a[k]なので
Σ[k∈J_{n}]1/lcm(a[k],a[k+1])≦2^{n/2}×2^{-n-1}
従ってΣ[k∈B]1/lcm(a[k],a[k+1])≦Σ[1,∞]2^{n/2}×2^{-n-1}<∞
よってlim[n→∞]Σ[k=1,n]1/lcm(a[k],a[k+1])は収束する

いや～難しかった

460 ：大学への名無しさん：2012/04/13(金) 01:21:23.84 ID:Ipvy4tkz0
なんでαが有理数なのかわからんから教えてくれ

461 ：大学への名無しさん：2012/04/13(金) 01:25:51.84 ID:jUFZBTFg0
αは有理数でも無理数でもどっちでも矛盾になるということだろ

462 ：大学への名無しさん：2012/04/13(金) 01:50:15.51 ID:Ipvy4tkz0
なるほど。有理数なら有理数を無理数なら無理数の値をとる関数との差の関数を作って
最低ひとつの値は一致するという流れか

463 ：大学への名無しさん：2012/04/13(金) 10:31:03.52 ID:0W7XbXBm0
>>451の[4]って証明したことになるの？
むしろ>>451の[4]を証明しなきゃいけないと思うんだが…

それと>>452の[6]は間違ってると思う
具体的なグラフで実験したら∫[0,1]f(x)dx にはならない

464 ：大学への名無しさん：2012/04/13(金) 22:33:12.83 ID:jUFZBTFg0
>>451の[2][4]は証明の概略を示したのであってきちんと証明したわけじゃないよ
>>452は>>451の補足のつもりで書いた
答えの候補としては∫[0,1]f(x)dx以外には最大値をM、最小値をmとしたときの
(M+m)/2しか考えられないが自分は∫[0,1]f(x)dx派だな

465 ：大学への名無しさん：2012/04/13(金) 22:55:00.12 ID:2ybeT7oQ0
>>456の別解

f(x)+x，f(x)-x のうち少なくと一方は定数関数ではない．
f(x)+x が定数関数ではないと仮定して以下背理法．
(f(x)-x が定数関数ではない場合も同様）

[a，b] で f(x)+x は連続より，最大値 M，最小値 m ( M＞m ) をとる．
m＜q＜M なる有理数をひとつとる．
中間値の定理より，ある実数 r∈[a，b] が存在して
f(r)+r＝q



556 ：大学への名無しさん：2012/04/12(木) 19:10:05.47 ID:jN5Tn+BL0
f(x)はx>0で定義する
f(xy)≦f(x)+f(y)
f(x)≦1-x
を満たす

x>y>0ならばf(x)>f(y)を示せ

557 ：大学への名無しさん：2012/04/13(金) 00:20:12.90 ID:vrK/AWUJO
>>556
問題が成立しない気がするんだけど、なんか勘違いしてるのかな？
一応こっちの考えを書くと、f(1)=0で、x=10、y=1/10としたら矛盾する、って考えたんだけど

558 ：大学への名無しさん：2012/04/13(金) 09:16:29.74 ID:qKPW2Cl+0
>>556 問題文ミスタイプしてるだろう。第三式は f(x)≦x-1 だな。


559 ：大学への名無しさん：2012/04/13(金) 16:19:50.74 ID:osDJoE+B0
４．
（イ）
１から１００までの整数を並べて出来る１９２桁の整数
12345678910111213…9899100を2002で割った余りを求めよ。

（ロ）
一辺の長さが２の正三角形ABCの各辺に接し、ひとつの軸が辺BCに平行な楕円Eがある。
Eの辺BCに平行な軸の長さを2a、垂直な軸の長さを2bとする。
（１）aとbの関係式を求めよ。
（２）xyz空間にA(0,0,√2）B(√2,0,0)C(0,√2,0)となるように正三角形ABCをおく。
このときE（内部を含む）をz軸のまわりに回転して出来る立体の体積の最大値を求めよ。


560 ：大学への名無しさん：2012/04/13(金) 16:20:45.80 ID:osDJoE+B0
５．
X君のクラスにｎ人の女子がいて、ｎ人の名は１美、２美、３美…ｎ美で、X君はこの順に好意を抱いている（最も好きなのがｎ美）。
いま、ｎ人のうちの３人が１人ずつ順にX君に対して「好きになってね」と言いに来る事になった。
X君は３人がどういう順にくるかはまったく予想できないが、次のようにして１回だけYesと答える事にした。
１　まず自然数ｋ（3≦k≦ｎ）を心に決め最初に来るa美に対して、
　　a≧kならyes,a＜kならNoとする。
２　１でNoの時、２番目のb美に対して、b≧kならyes,b＜kならNoとする
３　２でNoの時、３番めのc美に対しては、c＜ｋでも仕方なくYesと答える。
このときX君がx美に対してYesと答えるものとしてxの期待値をE(x)とする。
（１）x＜kとなる確率をpとおく。xx≧の時のxの期待値はkとnの平均と考えて、E(k)=pk/2+(1-p)(k+n)/nと予想される。
この予想が正しいかどうかを期待値の定義に従いってE(k)を求める事によって確認せよ。
（２）nは定数とする。E(k)を最大にするkはk>7/4nを満たすことを示せ。
（３）n=20のとき、E(k)を最大にするkの値を求めよ。

561 ：大学への名無しさん：2012/04/13(金) 16:21:20.35 ID:osDJoE+B0
６．
kを2以上の整数とする。曲線C：x^k+y^k=1(x≧0,y≧0)に点A(a,0)から接線をひき、
接点をP(p,q)とおく。
（１）lim[a→∞] a^s*(1-q)が０以外の値に収束するような実数sの値とそのときの極限値を求めよ。
（２）B(0,1)として、∠BAP=θとおくとき、lim[a→∞] a^t*θが０以外の値に収束するような実数tの値と
そのときの極限値をkであらわせ。