HDMI端子でＰＣをＴＶに写したい

オンボードグラフィックなので、それがグラフィックカードの代わりになっています。

ところで、AcerのAspire X5812のスペックが調べてもわからなかったので推測ですが、テレビにHDMI接続しているときは、PCのモニタへの接続はどうしていますか？
このチップセットのオンボードグラフィックだと、例えばHDMIとDVIは両方同時には出力不可能です。

また、HDMIでのテレビ接続のみだとしても、テレビの対応している解像度（1920ｘ1080や1280ｘ720）以外は入力できないです。

ＷＩＮスタートボタン＞全てのプログラム＞アクセサリー
＞プロジェクターの切り替え
（今は、ＶＩＳＴＡを使用しているので名称は、
あやふやです(笑い））
ディスプレイの変更の、設定が出来ます。

　HDMIで接続した場合の注意点としては、

　1.HDMIケーブルの挿したチャンネルは確認しましたか？（HDMI1～3等入力系統が複数あるため）
　2.テレビ側の入力切替で、接続したHDMI1～3等のチャンネルにきちんと合わせてください。
　3.PCに別のディスプレイ（モニタ）があれば、一応接続したままPCの電源を入れます。
　4.ディスプレイ側にWindowsの起動画面が出てから、HDMI接続のTV側に表示が出ることを確認してみてください。特に問題がなければ、どちらの画面もこの時点で表示されるはずです。
　5.きちんと表示が出なかった場合は、デスクトップの何もアイコン等表示のない所で右クリックして、出たメニューから、画面の解像度を選択して、ディスプレイ表示の変更の枠の中の「検出」ボタンを押してみてください。
　枠の中に、(1)と(2)と二つの画面のマークが出たら、レグザの画面を下にある「ディスプレイ」の横のリストから選び、メインの画面にします。
　下の、「適用」または「OK」のボタンで確定します。

　これできちんと表示できない場合、HDMIケーブルの交換をしてみるのも良いかと思います。HDMIケーブルの断線、または規格の違いでうまく表示できない場合も考えられますので、格安のものでなくなるべく新しい規格もクリアしてるHDMIケーブルを使用してみてください。

東芝ＲＥＧＺＡ　４２ＺＳ１を見ていないので確かなアドバイスではありませんが

テレビ側のHDMI入力端子が複数ありますよね。であればこちら側で受信切替えが必要ではありませんか。

No.1 の補足です。
TV->PC を写したい、ということでしたね。
PC側にHDMI端子だけは用意してあるが、HDMI信号をキャプチャーする機能が無い、ということはありませんかね。
ACERに確認してみてください。

> パソコン側はどうかと調べていたら、グラフィックカードがないということが判明しました。

グラフィック機能はマザーボードのチップに内蔵していますのでグラフィックカードは無くても構いません。

ACERのWebページを見ると
ASX5812-A50Fは
いつでもハイビジョン番組が見られる地上デジタル・TVチューナーを内蔵。
となっていますのでHDMI接続すれば、OKだと思いますが、
ASX5812-A52はHDMI信号を送り出す機器(たとえば地上デジタル・TVチューナーなど)が内蔵されていないのではないでしょうか？。
取り扱い説明書をよく読んで、ACERに質問するほうがいいと思います。