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ａの０乗 |
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● ａの０乗 ● ネパールに住んでいる藤田さんから質問のメールをいただきました。 それにしても、日本語のホームページなので、 さすがインターネット！！ ネパールですか〜。おどろきです。 さて、こんな質問です。 ａの０乗＝１ というのの意味がわからない とのことです。 そうなっていると暗記しているだけで、よくわからないというのですね。 たぶん、教科書なんかでも、 ａの０乗＝１ と定義（ていぎ）する と書かれていますから、むりもないと思います。 定義って、「・・・ってことにしましょうね」ってことですから、 でも、どうして ａの０乗＝１ ってことにするのでしょう。 ａの０乗＝０ ってことにしたらダメなの って、思っている人が多いのです。 そういう人は、こう言います。 ａがないんでしょ。なんにもない時は０でしょ。 そう、小学校で習いました。何にもないのに ０ と書く。 では、どうして何にもないのに ０ としてはいけないのでしょうか。
● かけ算 ● さて、トランプをするとしましょう。 「七ならべ」をしましょうか。それとも、「ババぬき」をしましょうか。 そんなことも決めないで、カードをくばったりはしませんね。 では、トランプではなくって、計算をしましょう。 「たし算」をしましょうか。それとも、「かけ算」をしましょうか。 えっ、どっちでもいいのかって？ とんでもありません。ａの０乗の話をしているのですよ。 ａの３乗なら、 ａ３＝ａ×ａ×ａ ですから、もちろん今は「かけ算」をしているのです。 もう、ゲームは始まっているのです。
● ０ と １ ● さあ、「かけ算」です。どんどんかけましょう。 ａ１＝ａ ａ２＝ａ×ａ ａ３＝ａ×ａ×ａ では反対に、どんどんへらしていきましょう。 ａ３＝ａ×ａ×ａ ここで、ａを１個へらすには、「かけ算」の反対の「わり算」をします。 ａ×ａ×ａ 続けてやっていきましょう。 ａ×ａ そうすると、 ａ と約束するのが自然というものです。 さらには、 １ １ １ １ １ １ １ と約束するのが自然ですね。 「たし算」で何にもたさなかったら、「０」です。 でも、「かけ算」で何にもかけなかったら、「１」なのです。 よく、「０からのスタート」っていいますね。 「かけ算」の世界では、「１からスタート」です。 最初は（？）、ａが何にもかけてなくて、つまりａが０個かけてあって、 １よりもａが１個多くかけてあるのが、「ａ１」 １よりもａが２個多くかけてあるのが、「ａ２」 １よりもａが３個多くかけてあるのが、「ａ３」 反対に、 １にするにはａが１個かけたりないのは、「ａ-1」つまり「１/ａ」 １にするにはａが２個かけたりないのは、「ａ-2」つまり「１/ａ２」 １にするにはａが３個かけたりないのは、「ａ-3」つまり「１/ａ３」 と、こんなぐあいに約束するのです。 これって、とっても自然でしょ。
● 指数法則 ● これまでは、ちょっとわかりやすさをねらったこじつけ（？）だったので、 ふつうの社会でも、これまで通りやっていけるのなら、 数学だって、これまで通りやっていけるのなら、 ａの１乗、ａの２乗、ａの３乗、・・・ のような正の整数だけでなく、 ａの０乗とか、ａの-1乗、ａの-2乗、ａの-3乗・・・ のように、０や負の整数だってなかまに入れたいのです。 さらには、 ａの０．１乗、ａの３分の１乗、ａの/２乗・・・ のような実数（じっすう）だってなかまに入れたいのですが、 さて、これまで通りやっていきたいものって、いったい何でしょう。 それは、指数法則（しすうほうそく）とよばれるものです。 たとえば、ａを２回かけたものとａを３回かけたものをかけると ａ２×ａ３＝ａ５ つまり ａ２×ａ３＝ａ２＋３ こんな法則が、「ａ０」でもやっていけるのなら そうしたら、「ａ０」はどんな数だとなかまに入れてもらえるでしょうか。 ａ２×ａ０＝ａ２＋０ そうすると、ａ０＝１ でないとなかまに入れてもらえなくなりますね。 だから、どんなに ａ０＝０ にしたくてもダメなのですよ。
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小林吹代 |