直角三角形
直角三角形には、直角と２つの鋭角があります。直角に向き合う１番長い辺を斜辺といいます。
これから直角三角形の合同条件を証明してみましょう。
規則
２つの直角三角形は、�，泙燭廊△里箸�に合同である。
�� 斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい。
�� 斜辺と１鋭角がそれぞれ等しい。
例題１
「２つの直角三角形で、斜辺と他の１辺がそれぞれ等しければ合同である」ことを証明してください。
３辺が等しい三角形は合同です。ここでは、中学３年で習う三平方の定理を使って証明します。直角三角形の３辺の長さを ａ ｂ ｃ （斜辺）とすると、ａ2 ＋ ｂ2 ＝ ｃ2 の関係になっています。
この式により、２辺の長さから残りの辺の長さが決まります。したがって、３辺が等しいので合同です。
（参考）
辺の長さが３、４、５の三角形は直角三角形です。
３2 ＋ ４2 ＝ ５2 になっているからです。 → 三平方の定理の証明
例題２
「２つの直角三角形で、斜辺と１鋭角がそれぞれ等しければ合同である」ことを証明してください。
１辺と両端の角が等しい三角形は合同です。直角三角形で、１鋭角が決まると、残りの角も決まります。したがって、斜辺とその両端の角が等しいので合同です。
練習
１． △ＡＢＣ と △ＸＹＺ があります。∠Ｂ＝∠Ｙ＝９０°です。次の条件のうちで、△ＡＢＣ≡△ＸＹＺ となるものはどれですか。また合同になる理由を述べてください。
� 。腺臓瓧悖戞■贈叩瓧截�
�◆、棕叩瓣棕�
�� ＢＣ＝ＹＺ、ＣＡ＝ＺＸ
�ぁ。達繊瓧擅悄□棕繊瓣棕�
２． △ＡＢＣ において∠Ａ＝９０°です。∠Ｂの二等分線とＡＣ の交点をＥとします。ＥからＢＣ に垂線を引き、交点をＤとします。△ＡＥＤは二等辺三角形であることを証明してください。
（ヒント） 二等辺三角形であることを証明するには、２辺が等しいか２角が等しいかを示します。
答 え
答え
１．
� 〇鯵儼舛如■科佞抜屬粒僂�等しい。
�� 直角三角形で、斜辺と他の１辺が等しい。
�ぁ…廠兒鯵儼舛如⊆佇佞硲韻弔留坡僂�等しい。
２．
△ＡＢＥ≡△ＤＢＥ を証明し、ＥＡ＝ＥＤをいう。
△ＡＢＥと△ＤＢＥにおいて、
斜辺ＢＥは共通
∠ＢＡＥ＝∠ＢＤＥ＝９０°
∠ＡＢＥ＝∠ＤＢＥ
直角三角形の斜辺と鋭角が等しいので、
△ＡＢＥ≡△ＤＢＥ である。
したがって、ＥＡ＝ＥＤ となり、△ＡＥＤは二等辺三角形である。
これから直角三角形の合同条件を証明してみましょう。
規則
２つの直角三角形は、�，泙燭廊△里箸�に合同である。
�� 斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい。
�� 斜辺と１鋭角がそれぞれ等しい。
例題１
「２つの直角三角形で、斜辺と他の１辺がそれぞれ等しければ合同である」ことを証明してください。
３辺が等しい三角形は合同です。ここでは、中学３年で習う三平方の定理を使って証明します。直角三角形の３辺の長さを ａ ｂ ｃ （斜辺）とすると、ａ2 ＋ ｂ2 ＝ ｃ2 の関係になっています。
この式により、２辺の長さから残りの辺の長さが決まります。したがって、３辺が等しいので合同です。
（参考）
辺の長さが３、４、５の三角形は直角三角形です。
３2 ＋ ４2 ＝ ５2 になっているからです。 → 三平方の定理の証明
例題２
「２つの直角三角形で、斜辺と１鋭角がそれぞれ等しければ合同である」ことを証明してください。
１辺と両端の角が等しい三角形は合同です。直角三角形で、１鋭角が決まると、残りの角も決まります。したがって、斜辺とその両端の角が等しいので合同です。
練習
１． △ＡＢＣ と △ＸＹＺ があります。∠Ｂ＝∠Ｙ＝９０°です。次の条件のうちで、△ＡＢＣ≡△ＸＹＺ となるものはどれですか。また合同になる理由を述べてください。
� 。腺臓瓧悖戞■贈叩瓧截�
�◆、棕叩瓣棕�
�� ＢＣ＝ＹＺ、ＣＡ＝ＺＸ
�ぁ。達繊瓧擅悄□棕繊瓣棕�
２． △ＡＢＣ において∠Ａ＝９０°です。∠Ｂの二等分線とＡＣ の交点をＥとします。ＥからＢＣ に垂線を引き、交点をＤとします。△ＡＥＤは二等辺三角形であることを証明してください。
（ヒント） 二等辺三角形であることを証明するには、２辺が等しいか２角が等しいかを示します。
答 え
答え
１．
� 〇鯵儼舛如■科佞抜屬粒僂�等しい。
�� 直角三角形で、斜辺と他の１辺が等しい。
�ぁ…廠兒鯵儼舛如⊆佇佞硲韻弔留坡僂�等しい。
２．
△ＡＢＥ≡△ＤＢＥ を証明し、ＥＡ＝ＥＤをいう。
△ＡＢＥと△ＤＢＥにおいて、
斜辺ＢＥは共通
∠ＢＡＥ＝∠ＢＤＥ＝９０°
∠ＡＢＥ＝∠ＤＢＥ
直角三角形の斜辺と鋭角が等しいので、
△ＡＢＥ≡△ＤＢＥ である。
したがって、ＥＡ＝ＥＤ となり、△ＡＥＤは二等辺三角形である。
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