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線形代数の問題についておしえてください

mazzarri_napoliさん

線形代数の問題についておしえてください

http://imepic.jp/20130510/322440
この2問について解説と解答お願いします
教科書読んでもわからないです

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(2件中1〜2件)

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nakanochurchさん

先の回答者(Candy さん?) の解答は間違っておりません
ので、私の常用するルーチンの方式で、辿ってみましょう。
比べてみれば、理解のヒントが得られる事でしょう!

与行列 A =.
4.... _5
_5..... 4 。

固有値: ルヴェリエ・ファデーエフ法により、
LF A から
_1.... 9。
(負数には、記号 アンダーバー _ 付きで示した。)

固有ベクトル:
(_1, 9) eigvec A から、
5.... _5
_5..... 5 と、

_5..... _5
_5..... _5 。

ベクトルは、縦列として読む。
共通因子 5 で割って、 簡単化すれば、
固有ベクトル V1 と V2 は、
1 ......1
1 ...._1
(縦列として読め。)

★ 与行列の対角化:
変換行列 P =
1 ......1
1 ...._1 。

その行列式 det P = _2 で、 ゼロで無いので、
逆行列 IP が存在する。
IP =
0.5..... 0.5
0.5... _0.5 。

「検算」 行列の内積(inner product) の操作を ip として、
IP ip P =
1... 0
0....1 。 内積は確かに単位行列となる。

「対角化」
IP ip A ip P =
_1.... 0
0 .....9 。
確かに、固有値が対角線上に並ぶ。

これで、固有ベクトルの用途も示された。

  • 違反報告
  • 編集日時:2013/5/10 19:27:57
  • 回答日時:2013/5/10 19:21:31

candy200712さん

(2)
A=(4…-5)
….(-5…4)
固有方程式より
|A-λI|=
|4-λ…..-5|
|-5…..4-λ|
=16-8λ+λ²-25=λ-8λ-9=(λ-9)(λ+1)=0
固有値λ=9、-1
固有ベクトル
λ=-1のとき、固有方程式にこれを代入して
5x1-5x2=0
-5x1+5x2=0
x2=1とすると
x1=1
固有ベクトル
X=x2(1)
…….(1)

λ=9のとき、固有方程式に代入して
-5x1-5x2=0
-5x1-5x2=0
x2=-1とすると
x1=1
固有ベクトル
X=x2(1)
…….(-1)

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