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■[OoM][reprise] 結合法則を，交換法則と区別して認識する

「かけ算はかける順番が変わっても，答えは変わらない」という主張を，改めて考えてみることにします．

3に5をかけると，3×5＝15です．5に3をかけると，5×3＝15です．3×5＝5×3は，乗法の交換法則を表した式となります*1．

別の「順番」もあります．2×3×4をどのように計算すればいいかです．まず，2×3＝6，6×4＝24とすることができます．あるいは，3×4＝12としたあと，2×12＝24となります．これは（2×3）×4＝2×（3×4）と表現することができ，結合法則と呼ばれます．

いまの（日本の）小学校の算数では，交換法則・結合法則の式表現，乗法に限ると

交換法則：□×△＝△×□

結合法則：□×（△×○）＝（□×△）×○

は，第4学年で「四則に関して成り立つ性質」として，まとめることとなっています．ただし学習指導要領とその解説を読むと，交換法則・結合法則はそれよりも前にも現れます．第2学年では，加法に関して成り立つ交換法則や結合法則を学習します．また乗法の交換法則は「乗数と被乗数を交換しても積は同じになる」として第2学年で学習することとなっています．乗法の結合法則は第3学年です．

ここで，交換法則と結合法則を合わせたものが，「計算の順序」に関する性質である，と認識することにしましょう．複素数の範囲までで，加法と乗法はそれぞれ，計算の順序を変えても答え（和，積）は同じになります．減法と除法では異なってくるので，それらでは，計算の順序を変えられない，と言うこともできます．

高木貞治が1904年に著し，我々は文庫本で読むことのできる『新式算術講義 (ちくま学芸文庫)』には，「加法及乗法は組み合はせの法則及交換の法則に遵ふが故に，多くの数を加へ又は乗ずるに当りて，其順序を如何様に変更するとも結果は常に同一なり」と記されています(p.31)*2．ここで「組み合はせの法則」とは結合法則のことです．

結合法則の図示，というのは，交換法則の図示ほど簡単でないように見えます．例えば『新編算数科教育研究』pp.39-40では，ペアノの公理系に基づく乗法の定義のところでは，結合法則，分配法則，交換法則が「演繹的に証明される」と書かれているのに対し，直積に基づく集合論的な立場では，アレイ図を提示し，「交換法則が成り立つこともあきらか」「分配法則が成り立つことも証明できる」とあるものの，結合法則への言及はありません．

交換法則は2つの値（または文字）を使った関係なので，長方形の面積で表せます．分離量だと，タイルの枚数です．結合法則は，3つの値または文字を使った関係なので，立体にしましょう．キューブの個数を算出します．

『Help Your Kids With Maths』には，次の図があります(p.161)．

縦・横・高さの値が異なる一つの直方体を回転させることで，a×（b×c），b×（a×b），c×(a×b）のいずれの式でも，キューブの総数を計算でき，どれも等しいことを表しています．

他の本を見ます．Anghileri＆Johnson (1988)のFIGURE 6-23 (p.179)は，The Associateive Propertyを示すための図として，次のように描かれています．

しかし，この図には，引っかかりを覚えます．というのも，かけられる数とかける数の区別が曖昧なように見えるのです．

この図をもとに，自分なりに3×（4×2）を作図してみました．

「3×4×2」の直方体では，式にカッコすなわち計算の順序を，入れないことにしました．

その一方で，「3×（4×2）」の式に対応する構成では，3次元という枠を外しました．3個の横並びの立方体を「一つ分」とみなして，それが4×2（縦4つ，横2つ）の長方形の配列として，表してみた次第です．

細かいことをいうと，「3×（4×2）」として表した図は，「3×（2×4）」と読むこともできます．長方形は縦横の，直方体は縦横高さの，実質的な区別がないと見れば，これは致し方ありません．

それと，Anghileri＆Johnson (1988)の図のあとの練習問題(p.180)では，結合法則を使って計算を効率良くする出題が2問あります．その2番目「5×17×2」のヒントには「(Hint: use the commutative property as well.)」として，交換法則も使いなさいと書いています．概念としては別だけれど，交換法則と結合法則を合わせて，「計算の順序」に関する性質であることを，補強している事例となっています．

学校では，乗法の結合法則をどのように学習しているかですが，3年で直方体の体積を扱えません*3ので，別の道具立てが必要となります．

以下に紹介する2つの事例はともに，お金の問題にしています．合計金額を算出するのに，2通りの方法をとって，どちらでも同じ答えを得る，という流れです．

まずはWebで読めるものから．第３学年 算数科学習指導案（平成18年10月24日，調布市立杉森小学校）では，「1こ90円のシュークリームが、1はこに3こずつ入っています。2はこ買うと、代金は何円になるでしょう？」を，今日の問題としています．

シュークリームの数を求めてから，全部の代金を求めるのが，3×2＝6，90×6＝540で，これを90×（3×2）＝540と表すことができます．1箱の代金を求めてから，全部の代金を求めることにすれば，90×3＝270，270×2＝540となり，これは（90×3）×2＝540です．

そうして90×（3×2）＝（90×3）×2を導き，「かけ算はかける順番がかわっても、答えは変わらない」とまとめています．

自力解決の段階で，「90×2＝180，180×3＝540」という式も，予想される児童の反応として書かれています．しかしこれには「机間指導する」ともあり，この授業では，間違いとみなしています．

もう一つは，書籍からです．『小学校算数 板書とノートを変えると子どもが伸びる』p.50に書かれている授業では，「1こ60円のおかしが1はこに4つ入っています。このはこを2つ買うと，代金はいくらですか」という問題を提示しています．目指すのは「（60×4）×2＝60×（4×2）」です．そのプロセスの中で，「4×2×60は問題場面に合わない」としています．

これら2つは，3年生の，乗法の結合法則を学習するための授業であるとともに，交換法則（□×△＝△×□）を使用しないということでも共通しています．交換法則の考え方を排除し，「1つ分の大きさ×いくつ分＝全体の大きさ」を用いて，□×（△×○）＝（□×△）×○を得ることができた，と言うこともできます．数学的にも，『新式算術講義』では分配法則を証明してから，結合法則・交換法則を別々に証明していることと重なります．

本日の記事は，かけ算の順序，計算の順序のうち，結合法則・交換法則に関するものを取り出した内容となっています．再構成を図ったのは，次のツイートを見かけたからです．

@sankunanaku #掛算 掛算を（1つ分）×（幾つ分） などと決めようとすると、立式が(2×3)×4 の問題と 2×(3×4) の問題も違ってきそうだ。可換法則も大事だが、結合法則が成り立たないと取り扱いが非常に厄介になる。

2013-04-22 18:04:08 via Mobile Web (M2) to @sankunanaku

ここに@sankunanakuさんのお名前を書いて，リプライを送ることにします*4．

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