Default Gateway（Default Routerともいう）の働きを知りたいのなら，TCP/IPの第３層（ネットワーク層）と第２層（データリンク層）の違いを理解する必要があります。

第３層はネットワーク層。ソフト的に割り当てられたIPアドレス（４バイト）を使用します。他と重複しない値であるなら設定画面で変更が可能です。
第２層はデータリンク層。ハード的に割り当てられたMACアドレス（６バイト）を使用します。重複しない値がLANカードの製造時に埋め込まれています。

＃２の回答者の例を借りて次のようにIPアドレスとMACアドレスを仮定してみます。
+------+
|Ｃ端末|
+------+
　｜IP 3.3.3.2
　｜MAC 44-44-44-44-44-44
　｜
　｜
　｜IP 3.3.3.10
　｜MAC 77-77-77-77-77-77
+------+
|ルータ|
+------+
　｜IP 4.4.4.10
　｜MAC AA-AA-AA-AA-AA-AA
　｜
　｜
　｜IP 4.4.4.3
　｜MAC DD-DD-DD-DD-DD-DD
+------+
|Ｄ端末|
+------+

ＣからＤへpingを打ったとき，Ｃから発信された第３層パケットのヘッダは次のとおりです。
発信元IPアドレス＝3.3.3.2
送信先IPアドレス＝4.4.4.3
pingを相手に送りたいのなら相手に打つしかありません。デフォルトゲートウェイにpingを打つのではありません。同じネット上であろうが，異なるネットにいようが，pingは相手のIPアドレスに対して打つのです。

理解の要点は第２層です。
ＣからＤへpingを打ったとき，Ｃから発信された第２層フレームのヘッダは次のとおりです。
発信元MACアドレス＝44-44-44-44-44-44
送信先MACアドレス＝77-77-77-77-77-77
第２層のデータリンク層は，直接通信可能な同一ネットワーク内で閉じています。Ｃは，ルータの向こうのＤとは直接通信できませんが，ルータの上側のLANカードとはに直接通信できます。つまり77-77-77-77-77-77がデフォルトゲートウェイのMACアドレスということになります。（念のため確認ですが，ルータの下側AA-AA-AA-AA-AA-AAはデフォルトゲートウェイではありません）

デフォルトゲートウェイの（というか，ルーティングの）基本を理解する要点は，次の２つだと思います。
１つめは，異なるネットワーク上の相手にデータを送信したとき，その送信先は，第３層パケットと第２層フレームとで異なるということ。
２つめは，デフォルトゲートウェイのIPアドレスは使わない。使うのはデフォルトゲートウェイのMACアドレスだということ。ただ，MACアドレスはハードウェアを交換すれば変わってしまうので，設定画面ではデフォルトゲートウェイのIPアドレスを指定して，ARPプロトコルでIPアドレス→MACアドレスへの変換をおこなっているわけです。