円と球の求積（直感的方法）　　　　　　　　　　　　　　

　正方形や長方形などの面積の公式は、誰でもが納得しやすい。なぜなら、面積の概念そ
のものが、単位正方形が何個あるかによって決まるからで、そこは疑いようがないところで
あろう。

　平行四辺形や台形、ひし形の面積の公式も、その延長線上にあり、比較的容易である。

　しかしながら、円の面積はまだしも、球の体積、球の表面積の公式となると、その直感的
な把握は難しいようである。

　私の周囲の方々に伺っても、「そんなの、鵜呑みにして覚えて、計算したよ〜」という場合
が多い。私自身、最初にどうやって教えられたのか、もう忘れてしまっているのだが、以前
にＮＨＫ教育テレビで、円柱と円錐と球の模型を水槽に沈めて、その押しのけた水の量で
球の体積の公式を説明していたのを見たような気がする。

　このページでは、円や球という図形に的を絞って、その面積や体積・表面積の公式を、直
感的に求める方法について整理しておきたい。

　出発点は、まず円周率である。円周率は、直径に対する円周の比で定義される。数学の
場合、直径というものはあまり使用頻度の高い語彙ではなく、むしろ、半径と絡めた方が本
質的かもしれない。（ →　参考「円の面積」 ）

　したがって、円の半径を ｒ 、円周率を π とすると、円周の長さは、

　　　　　　（円周の長さ）　＝　２ π ｒ

という公式により求められる。これは、円周率の定義そのものなので、疑う余地は全くない。

　小学校４年で、円や球の概念を学習するわけであるが、あくまでも「見た目」の形の理解
に重きが置かれる。この頃は、円の持っている美しい対称性と、自然に触れ合うことが大
切で、妙に心引かれるものを感じるときでもあろう。

　小学校５年で、扇形や中心角、円周率などの用語が登場し、円の面積の公式を語るため
の役者が勢ぞろいする。曖昧さを上手くカバーしながら、巧妙に、平行四辺形の面積もしく
は長方形の面積を用いて、円の面積が求められる。分かりやすさに重きを置くので、論理
の微妙な部分は反古にされる。小学校でのこのような対応は、むしろ教育的なのだろう。

左図のような半径 ｒ　　 　 の円を、右図のように　　 　 細かく扇形に等分割 　 する。

　等分割されたものを、上下に２分割し、下図のようにかみ合せる。

	⇒
そうすると、教室の遠くからは、あたかも長方形かのように見える図形ができる。

　　「横がちょっとデコボコでは〜？」という質問があった場合は、すかさず「今は、分割数
が少なくて、そう見えるかもしれないが、この分割数をどんどん増やしていくと、だんだんと
滑らかになります。」と説明すれば、恐らく多くの小学生には納得してもらえることと思う。

　厳密に言えば、あやふやだが、円の面積というものを既知の図形に変換することにより、
具体的に体感できる方法としては、優れた指導法だと思う。（多分おおくの小学校では、こ
のようなやり方で教えられているはずである。）

　この長方形の縦の長さは、円の半径 ｒ に等しく、横の長さは、半円周の長さ π ｒ に等し
いので、

　　　　　　（円の面積）　＝　π ｒ²

という公式が作られる。

　円の面積公式の、厳密な意味での証明は、三角関数の微分積分を待たなければならな
い。しかし、この証明に出会える日本の高校生は、現行のカリキュラムでは非常に少ない。
（恐らく、日本の高校３年生の１割位ではないだろうか？）

　新学習指導要領では、球の体積や表面積の公式は、高校１年で学ぶ「数学�T」の「図形
と計量」に強制移動させられてしまった。（旧学習指導要領では中学３年だが、もっと昔は、中学
１年で教えられていた！）　このことは、決して日本の将来にとっていいこととは思われない。
円や球は、その全方位的な対称性から、長方形や直方体にはない図形の美しさが感じら
れる対象である。数学的なものの見方・考え方を養成するには格好の対象だと思うのだ
が、それがどんどん先延ばしされて、新鮮味がなくなったところで学ぶというのはいかがな
ものだろうか？

　円の面積の場合は、円周の長さが既に定まっていたので、容易に直感的な求積法を導
くことができたが、球の場合は、少し事情が異なる。足がかりとなり得る球の表面積、体積
の何れもが定められていないからである。

　しかし、そのどちらかを与えれば、次の直感的な方法により、他方は定まる。

半径 ｒ の球において、中心から放射状に、左図のよう 　　なコーンを考える。（図では、１個しかないが、これが球面 　　上密集しているような図を想像して下さい．．．　f(^_^)　） 　　　このコーンの高さは、ｒ に等しいとしてよい。 　　　このとき、球の表面積 Ｓ と体積 Ｖ には、次の等式 　　　　　　　Ｖ＝(1/3)・Ｓ・ｒ 　　が成り立つ。

　一般的に、表面積を直感的方法で求めることは、難しい。
（球の表面積が、球に外接する円柱の側面積に等しいことが言えればよい。）

　それに対して、体積の方は、

カヴァリエリ（Cavalieri）の原理

　　２つの立体を、平行な平面で切ったときの切り口の面積がいつも等しければ、２つの立
　体の体積は等しい。

という、直感的に受け入れやすい原理があるので、説明しやすい。

　カヴァリエリの原理を用いると、底面積と高さが同一である、円錐と角錘の体積は等しい
ことが分かる。また、角錐の体積が、角柱の体積の３分の１であることは、当ＨＰ：「角錐の
体積」 により、理解されることだろう。

　球の表面積 Ｓ と体積 Ｖ の関係式で、「３分の１」が乗ぜられるのは、この「３分の１」であ
る。

　カヴァリエリの原理を用いて、球の体積は、次のようにして求められる。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（当ＨＰ：「カヴァリエリの原理」より再掲）
　下図において、

　　　　「半径 ｒ の半球」
　　と、
　　　　「半径 ｒ、高さ ｒ の円柱から半径 ｒ、高さ ｒ の円錐を取り除いた立体」

　　のそれぞれの体積は等しい。
　　　　　　　　　　　　　　　

実際に、それぞれの立体を、底面に平行な 　　平面（点線）で切断したときの断面積は、２つ 　　とも 　　　　　　　　　π (ｒ２−Ｘ２) 　　に等しい。

　　従って、球の体積は、　２×（πｒ³−（1/3)πｒ³）＝(4/3) π ｒ³

以上から、

　　　　　　（球の体積）　＝　(4/3) π ｒ³

という公式が作られる。

　解析的には、高校３年で学ぶ「数学ＩＩＩ」の微分積分において、円の回転体の体積として、
球の体積の公式は求められる。（←以前は高校２年で学ぶ「数学ＩＩ」の内容であった。）

　ところで、半径、高さがともに ｒ の円錐、半球、円柱の体積の比が、１ ： ２ ： ３ になる
という事実は、とても美しい。

　さらに、半径、高さがともに ｒ の円柱、円錐、球、の体積の比が、３ ： １ ： ４ になるが、
何となく、円周率 ３．１４ と意味ありげで、興味深い。

　球の体積の公式から、表面積Ｓは、　(4/3) π ｒ³ ＝ (1/3)・Ｓ・ｒ　より、Ｓ ＝ ４ π ｒ²

以上から、

　　　　　　（球の表面積）　＝　４ π ｒ²

という公式が作られる。

　球の体積、表面積については、いろいろな覚え方があるが、次は、有名でしょう。

　　　　　　球の体積　は、　身の上に心配あるので、参上。

　　　　　　球の表面積は、心配ある事情。

上記以外の直感的方法がないかどうか、今後の研究課題としたい。