大事な写真等は必ずDVD-R等に焼いておきましょう。
機械は必ず壊れます。

たぶん遅延書き込みエラーですね。

＞「ファイルF:\$Mftのためのデータを一部保存できませんでした。データを損失しました。このエラーはコンピュータのハードウェアまたはネットワーク接続の障害によって発生した可能性があります。このファイルをどこか別のところに保存してください。」
＞と言う警告が出されました。

これはいつ出たんですか？
もし外付HDDからPCにコピーさせる時出たなら、データは外付HDDに残っている可能性が高いです。
移動させる時出たなら危いですね。


＞音楽ファイルを移行しようと思っていたら突然エラーになり、主にHTML文書や音楽がデータ抹消され、写真もデータは残っているのですが表示できません。ワードも開けません。

抹消されたデータは、移動していたデータですか？
もしそうならコピーの為の読み出し終了後削除され、コピーの方はその後失敗したと思われます。
たぶん、復活ソフトで復活できるか？という状況でしょう。
写真やデータやワードは表示させたり開こうとすると、PCはどう反応するのですか？
ただ見えない、ではそれ以上は推定困難です。


＞・今後もこういったエラーになることはありえるのでしょうか？

遅延書き込みエラーは色々原因があってはっきりしません。また対策もケースバイケースで、
撲滅に至らないことが多いです。
マイクロソフトは原因と対策について何点かアナウンスしていますが、
どうもそれが全てではないようです。
大量のデータを転送すると起きます。
そういう時には、バックアップ時も回復時にも、
まずコピーして、コピーに成功したら転送元データを削除するようにしましょう。

どのようなコピーをされたか分かりませんがMFTをぶっ壊してしまったようです
MFT= Master File Table, マスタ ファイル テーブル
http://www.microsoft.com/japan/Terminology/query.aspx?id=524&q=MFT&kbid=&key=&ui=L&dev=&site=
ここは通常はユーザーが勝手に触れない領域です
状況としましては、丁度分厚いの書籍の目次を破ってしまった感じです
中身は残っているけど目次が無いのでどこに何が書いてあるのかWindowsからはサッパリ分からない状態です
必ずNFTを通りどこに何が書いてあるかファイル名と物理的な位置を確認するわけです

とりあえずMFTを修復しましょう

ドライブの『プロパティ』→『ツール』タブ→『エラーチェック』→『チェックする』をクリックし、

□ファイルシステムエラーを自動的に修復する
□不良なセクタをスキャンし、回復する

2つともチェックを入れて『開始』します

上手くいけば既存のデータからMFTを再生成できる場合も有ります

メーカーに問い合わせしてみてはいかがでしょうか。