三角錐の体積
三角錐の体積を求めてみましょう。三角錐の体積は、四角錐や円錐と同様に次の式で計算できます。
角錐・円錐の体積＝底面積×高さ÷３
練習
１． 左の図で、ＡＢ＝ＡＤ＝４ｃｍ、ＡＣ＝３ｃｍ、∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＤ＝∠ＤＡＢ＝９０° です。
（１） 三角錐の体積を求めてください。
（２） △ＢＣ Ｄを底面としたときの三角錐の高さを求めてください。 （長野県高）
２． 右の図のような三角錐があり、ＡＢ＝８ｃｍ、ＢＣ＝ＢＤ＝６ｃｍ、∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠Ｃ ＢＤ＝９０° です。
（１） 三角錐の体積を求めてください。
（２） △ＡＣ Ｄの面積を求めてください。 （広島大附属高）
答 え
答 え
１．
（考え方）
底面積と高さがすぐ分かる三角形を底面積にする。
三角錐の体積は、どの三角形を底面にしても等しい。
二等辺三角形で、３辺の長さが分かると高さが計算できる。
（１） 底面を△ＡＢＤとすると、求める三角錐の高さはＡＣ なので、求める体積は、
｛（４×４／２）×３｝／３＝８ （ｃｍ３） ・・・（答）
（２） 三平方の定理から、ＢＣ＝ＤＣ＝５、ＢＤ＝４√２
△ＢＣ Ｄの面積を求める。
△ＢＣ Ｄで、ＢＤの中点をＭとすると、ＢＤ⊥Ｃ Ｍなので、
Ｃ Ｍ＝√（ＢＣ２−Ｃ Ｍ２）
＝√｛（５２−（２√２）２｝＝√１７
△ＢＣ Ｄ＝ＢＤ×Ｃ Ｍ／２
＝（４√２×√１７）／２＝２√３４
三角錐の高さを ｘ とすると、
（２√３４）ｘ／３＝８
ｘ＝１２／√３４
＝（１２√３４）／３４＝６√３４）／１７ （ｃｍ） ・・・（答）
２．
（１） 底面を△ＡＢＣ とすると、求める体積は、
｛（６×８／２）×６｝／３＝４８ （ｃｍ３） ・・・（答）
（２） △ＡＣ Ｄで、Ｃ Ｄの中点をＭとすると、
△ＢＣ Ｄは直角二等辺三角形なので、Ｃ Ｄ＝６√２
Ｃ Ｍ＝３√２ ・・・��
△ＡＢＣ の３辺は、３：４：５ なので、ＡＣ＝１０ ・・・��
�´△�ら、
ＡＭ＝√｛１０２−（３√２）２｝＝√８２
よって、
△ＡＣ Ｄ＝（６√２）×（√８２）／２
＝６√４１ （ｃｍ２） ・・・（答）
角錐・円錐の体積＝底面積×高さ÷３
練習
１． 左の図で、ＡＢ＝ＡＤ＝４ｃｍ、ＡＣ＝３ｃｍ、∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＤ＝∠ＤＡＢ＝９０° です。
（１） 三角錐の体積を求めてください。
（２） △ＢＣ Ｄを底面としたときの三角錐の高さを求めてください。 （長野県高）
２． 右の図のような三角錐があり、ＡＢ＝８ｃｍ、ＢＣ＝ＢＤ＝６ｃｍ、∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠Ｃ ＢＤ＝９０° です。
（１） 三角錐の体積を求めてください。
（２） △ＡＣ Ｄの面積を求めてください。 （広島大附属高）
答 え
答 え
１．
（考え方）
底面積と高さがすぐ分かる三角形を底面積にする。
三角錐の体積は、どの三角形を底面にしても等しい。
二等辺三角形で、３辺の長さが分かると高さが計算できる。
（１） 底面を△ＡＢＤとすると、求める三角錐の高さはＡＣ なので、求める体積は、
｛（４×４／２）×３｝／３＝８ （ｃｍ３） ・・・（答）
（２） 三平方の定理から、ＢＣ＝ＤＣ＝５、ＢＤ＝４√２
△ＢＣ Ｄの面積を求める。
△ＢＣ Ｄで、ＢＤの中点をＭとすると、ＢＤ⊥Ｃ Ｍなので、
Ｃ Ｍ＝√（ＢＣ２−Ｃ Ｍ２）
＝√｛（５２−（２√２）２｝＝√１７
△ＢＣ Ｄ＝ＢＤ×Ｃ Ｍ／２
＝（４√２×√１７）／２＝２√３４
三角錐の高さを ｘ とすると、
（２√３４）ｘ／３＝８
ｘ＝１２／√３４
＝（１２√３４）／３４＝６√３４）／１７ （ｃｍ） ・・・（答）
２．
（１） 底面を△ＡＢＣ とすると、求める体積は、
｛（６×８／２）×６｝／３＝４８ （ｃｍ３） ・・・（答）
（２） △ＡＣ Ｄで、Ｃ Ｄの中点をＭとすると、
△ＢＣ Ｄは直角二等辺三角形なので、Ｃ Ｄ＝６√２
Ｃ Ｍ＝３√２ ・・・��
△ＡＢＣ の３辺は、３：４：５ なので、ＡＣ＝１０ ・・・��
�´△�ら、
ＡＭ＝√｛１０２−（３√２）２｝＝√８２
よって、
△ＡＣ Ｄ＝（６√２）×（√８２）／２
＝６√４１ （ｃｍ２） ・・・（答）
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