ＶＢＡで対応するのはどうですか。
色がＣｏｌｏｒＩｎｄｅｘ値で表せる色なら
Sub test01()
Dim cl As Range
Sheets("Sheet1").Copy Before:=Sheets(1)
ci= Range("a3").Interior.ColorIndex
For Each cl In Range("a1:j20")
If cl.Interior.ColorIndex = ci Then
cl.Interior.ColorIndex = 0
End If
Next
'Range("a1:j20").PrintOut
End Sub
・Range("a3").のＡ３をその特定の色がついているセル
の１例に変える。
・Range("a1:j20")を質問者のケースにあわせ、適当に変える。
・最後にRange("a1:j20").PrintOutのコメントを外せば印刷します。
・消したい色が複数あればＣａｓｅ文で対応

#1です。
#1の方法では「特定の背景色」を印刷から外すことはできませんね。

特定の背景色については・・・考え付きません。
失礼しました。

背景ではなく、セルの塗りつぶしじゃないかな？

メニューの「ページ設定」を実行し「ページ設定」ダイアログボックスを表示します。「シート」タブをクリックして「白黒印刷」をオンにすると、セルの塗りつぶし色や文字の色などがすべて白黒に置き換えられて印刷されます。薄い色は白くなりますが、濃い色は真っ黒毛になります。

まったく印刷しないのでしたら、
[ファイル] メニューの [ページ設定] をクリックします。
[シート] タブをクリックします。
[簡易印刷] チェック ボックスをオンにして [OK] ボタンをクリックすることでセルに設定した色は印刷されなくなります。

Excelではなく、プリンタ側で設定する方法もありますね。