部分集合

部分集合って？

集合と集合があるとします。
もし、集合の全ての元が集合に含まれるとき、
をの部分集合といい、


と表します。 また逆に、をの上位集合とも言います
上位集合は時々拡大集合とも呼ばれます。

部分集合の例

部分集合の例を挙げていきましょう。




当然、


であることは分かりますよね？左側の集合の元である4が、右側にはふくまれません。

それでは、もっとスケールを大きくしてみていきましょう。



真部分集合

ところで、


というように、左右同じ集合でも、左側の集合の全ての元は当然右側の集合に含まれるため、部分集合となります。
どんな集合でも、自身の集合は必ず含むので、部分集合として自分自身の集合を持ちます。
よって、「自身の集合」ではない部分集合のことを真部分集合といいます。
がの真部分集合であるとき、


と表します。
だから、


ですが、


ですね。

ちなみには、同じ集合も含めて部分集合ということを表しますが、文献によっては「同じ集合は含めない」というものもあるそうです。
もし同じ集合も含めて部分集合である、というものを強調したけらばを使いましょう。

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