上界、下界、上限、下限の定義

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定義　（最大元、最小元）

集合Ａの最大の元を『Ａの最大元』といい、ｍａｘＡで表記する。

また、集合Ａの最小の元を『Ａの最小元』といい、ｍｉｎＡで表記する。

具体例

例えば、Ａ＝｛ｘ∈Ｒ｜３≦ｘ≦７ } の最大元と最小元は、

ｍａｘＡ＝７、ｍｉｎＡ＝３

である。

一方、Ａ＝｛ｘ∈Ｒ｜３＜ｘ＜７ } の最大元と最小元は存在しない。

このとき、「最大元（最小元）が存在しない」という表記に戸惑う人がいるかもしれない。そこで、仮に最大元ｃが存在すると仮定しよう。

すると、ｃと７の間には実数が存在する。（ ※ 定理１（実数の稠密性））

この実数はｃより大きくて、７より小さいのだから、ｃが最大元であるという仮定に反する。したがって、最大元は存在しない。

具体例

集合Ａを

とする。このとき、ｍａｘＡ＝１であるが、ｍｉｎＡは存在しない。

定義　（上界、下界）

集合Ａに属している任意の数ａについて、

を満たすｂ全体の集合を『Ａの上界』という。

また、集合Ａに属している任意の数ａについて

を満たすｃ全体の集合を『Ａの下界』という。

集合Ａが上界をもつとき、「集合Ａは上に有界である」という。
集合Ａが下界をもつとき、「集合Ａは下に有界である」という。
集合Ａが上下に有界であるとき、「集合Ａは有界である」という。

「上界」を「じょうかい」と読み、「下界」を「かかい」と読む。

定義　（上限、下限）

集合Ａが有界な場合、上界の最小元を「上限」といい、下界の最大元を「下限」という。
集合Ａの上限を「ｓｕｐＡ」と表記し、下限を「ｉｎｆＡ」と表記する。

注意　（上限、下限は集合Ａに属すとは限らない。）

①　Ａ＝｛ｘ∈Ｒ｜３≦ｘ≦７ } の上限、下限は、

ｓｕｐＡ＝７、ｉｎｆＡ＝３

である。このとき、上限・下限は集合Ａに属する。

②　Ａ＝｛ｘ∈Ｒ｜３＜ｘ＜７ } の上限、下限も、

ｓｕｐＡ＝７、ｉｎｆＡ＝３

である。しかし、上限・下限は集合Ａに属さない。

集合Ａを

とすれば、ｓｕｐＡ＝１、ｉｎｆＡ＝０である。

上限はＡに属しているが、下限はＡに属していない。

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