最大元と最小元
最大値・最小値
最大値とは、一番大きな値のことです。
また、
最小値とは、一番小さな値のことです。
例えば、集合
を、
と定義するとき、
この集合の最大値は３になります。
また、この集合の最小値は１になります。
まぁ当たり前ですよね...。
また、集合の最大値は、
と表され、
逆に、集合の最小値は、
と表されます。
この例の場合、
となります。
最大元と最小元
今度はこの「最大値」・「最小値」の概念を、
順序関係にも拡張しましょう。
順序関係とは、一種の順番を与える関係なので、
一応、最大値や最小値となるものが存在します。
一般的に、通常の数字の大小関係に限らず、
順序関係における最大値は、普通最大元と呼ばれ、
最小値は最小元と呼ばれます。
さて、以下に例を挙げましょう。
前回定義した
２次元のベクトル間に対して、「≦」という順序関係を
としたものを用います。
こうしたとき、例えばこのベクトルの集合
の中で、
また、集合における包含関係
を順序関係とする場合、
の中で、順序関係における最大元は、
となり、最小元は
となります。
当然、順序関係における最大元や最小元を表す場合も、
記号 と
を使います。
例えば、この包含関係の例を順序関係として最大元・最小元を表す場合、
となります。
最大元・最小元の明確な定義
「一番大きな元を、最大元という！！！」では、数学にしては少し適当だと思うので、
いかに最大元の明確な定義を与えましょう。
順序関係
において、
の元
が
で最大元であるとは、
であることである。
まだまだ、この記法が分かりにくい方はいますか？
このような記法を理解するには、「慣れ」が必要なので、がんばりましょう。
つまり、「任意のＡの元ａを選んでも、絶対にａ≦ｍとなるとき、ｍは最大元だよ〜」ということです。
ｍが一番大きいはずなので、他のどのような元を選んでもｍより大きくなるはずはありません。
絶対ａの方が小さいはずです。
つまり、どんな元よりも確実に大きい元のことを「最大元」と言います。
ちなみに、最小元は
となるとき、ｍは最小元になります。
ただ左右を入れ替えただけですね。
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