>回答を待つ間に、puttyというソフトを見つけました。
>この黒い画面に
>su -
>pasword:●●●
>など、入力するのでしょうか？

SSHでログインしてから、「su -」エンターで、パスワード入力を求めてきます。
「pasword:●●●」と自分で入力するわけではありませんのでご注意を。

入力しているのに画面に何も表示されない。ってのが次の質問になりますかね…
先に回答しますが、「入力したパスワードが表示されない("*"などのマスクでも表示されない)」のは正常です。

>これでsuでログインできたとして、その後のファイル操作も引き続きこの黒い画面で行わなければならないのでしょうか？

そうなります。
cpコマンドでコピーするか、mvコマンドで移動させるか…になるかと思われますが。
CUIの使い方の書籍やWebページで、先に勉強しておいた方がよいでしょう。
その程度ではコマンドが正しく使えるかどうかも怪しいですし。
# rootになった後だと、コマンドの使い方誤った場合にOS壊すこともできますから。

>WinSCPは使えないのでしょうか？

使えません。
# sshのサーバの設定を変更すれば、使えなくはない…ですが……。
# 危険ですから止めた方がよいでしょう。(3日後にはWebページが書き換わっているでしょう。)


失礼ですが…サーバ公開するには知識がかなり不足しているようにしか見えません。