sin18度 を求めよ 誰か教えてください(；´д⊂)

nametakahiro1128さん

18°×2=36°
18°×3=54°
です。また、36°+54°=90°です。
これらを合わせて
sin36°=sin(90°-54°)=cos54°
sin36°=cos54°
θ=18°として
sin2θ=cos3θ
となります。２倍角、３倍角の公式を用いて
2sinθcosθ=4cos^3θ-3cosθ
cosθ(4cos^2θ-3-2sinθ)=0
cosθ[4(1-sin^2θ)-3-2sinθ]=0
cosθ(4-4sin^2θ-3-2sinθ)=0
cosθ(-4sin^2θ-2sinθ+1)=0
cosθ(4sin^2θ+2sinθ-1)=0
cosθ≠0なので、4sin^2θ+2sinθ-1=0
t=sinθとし、4t^2+2t-1=0
この２次方程式を解いて、
t=(-1±√5)/4
t=sinθ=sin18°なので、t>0
よって
t=(√5-1)/4

５倍角の公式を用いるなら
sin90°=1
また、sin5・18°=sin90°=1です。
つまり、θ=18°として
sin5θ=1
となります。また
sin5θ=sin(2θ+3θ)=sin2θcos3θ+cos2θsin3θ
で、２倍角、３倍角の公式を使って
sin5θ
=2sinθcosθ(4cos^3θ-3cosθ)+(1-2sin^2θ)(3sinθ-4sin^3θ)
=2sinθ(4cos^4θ-3cos^2θ)+3sinθ-4sin^3θ-6sin^3θ+8sin^5θ
=2sinθ(1-5sin^2θ+4sin^4θ)+3sinθ-10sin^3θ+8sin^5θ
=16sin^5θ-20sin^3θ+5sinθ=1
となります。つまり、t=sinθとして
16t^5-20t^3+5t-1=0
の５次方程式を解くわけです。
この５次方程式はtの範囲を無視すれば
t=1を解に持つので
(t-1)(16t^4+16t^3-4t^2-4t+1)=0
となります。さらに
(t-1)(4t^2+2t-1)^2=0
と因数分解できるので、tの解は
t=1、(-1±√5)/4
となります。t=sin18°なのでt≠1で、t>0
以上から
t=(√5-1)/4
となります。