線形代数の問題です。よろしくおねがいします。 次のVベクトルは一次独立であるこ...

pycckarさん

（１）は、３次以下の整式で表される関数全体のつくる実ベクトル空間なので、
通常の基底は、１、ｘ、ｘ^2、ｘ^3なのですが、
ここでは、１次独立なベクトルf1,f2を含む基底を求めなさいということです。
a,b∈Ｒとして、
a*f1+b*f2=0を計算すると、a=b=0となるので、f1,f2は１次独立。

f3=1+xとしても、f3=1としても、
a*f1+b*f2+c*f3=0は、a=b=c=0となるので、f1,f2,f3は１次独立。
f4=x^2+x^3としても、f4=x^3としても、
a*f1+b*f2+c*f3+d*f4=0は、a=b=c=d=0となるので、f1,f2,f3,f4は１次独立。

結局、f3=1,f4=x^3と基底を選んだのが、解答ということでしょう。

(2)も同じように
x*a1+y*a2=(0,0,0)より、
x=0,2x+2y=0,x+y=0 →x=y=0 よって、a1,a2は１次独立
a3=(0,1,0)と選ぶと、
x*a1+y*a2+z*a3=0より、
x=0,2x+2y+z=0,x+y=0 →x=y=z=0 よって、a1,a2,a3は１次独立
結局、a1,a2,a3を基底に選べばよい。

ということになるでしょう。