両親を扶養家族にするとどうなりますか？

>私の姉はいわゆるフリーターでまだ父の扶養家族なんですが、父が会社をやめたら、私の扶養になるんですか？

直系親族（両親、兄弟、子供など）で、前念の1月から12月までの年収（源泉徴収される前の税込み収入）が130万円以下で、かつ、あなたの年収の1/2以下なら、被扶養者にすることは可能です。するかしないかは自由です。（健康保険（社会保険）上の扶養家族）

#2での補充ですが、60歳以上の親を被扶養者にする要件は、父、母別々について、年金（遺族厚生年金は非課税で対象外）やその他の前年（1～12月）の合計年収が、60歳以上で180万円以下、60才未満で130万円以下であることが必要です。また、父、母別々に、両親の収入が、あなたの年収の1/2以下である。逆に言えばご両親のそれぞれの年収の2倍以上の年収があなたにあることも要件に含まれます。（健康保険（社会保険）上の扶養家族）

所得税法上の被扶養者の要件は配偶者が103万円ですね。お姉さんはなれませんね。
両親の場合は、同居し生計を同じにしている（つまり主にあなたの収入で生活している）こと、両親のそれぞれの年収が38万円以下（公的年金制度による遺族厚生年金や遺族基礎年金などを非課税で含めない）であることが要件になっています。

参考）
http://media.jpc-sed.or.jp/jinji/875.html

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1373346

補充です。
両親の年間（１月から１２月）に病院や処方箋による薬局など支払う医療費についても、領収書を整理してノート等に貼り付けておけば、あなたの医療費と両親の医療費のあわせた金額が１０万円を超えた分について、翌年の２月中旬～３月中旬に税務署のに医療費の確定申告すれば、所得税の税金納付額がある範囲で、税金が戻ってきます。
会社で給料から天引きされた源泉所得税に対して、年末調整や税務署での確定申告をしなければ、収めすぎの税金は戻ってくることはありません。給料から天引きされる税金の納付額（所得税）が減少すれば、その翌年の７月ころから住民税（県民、市町村税）も減額されてきます。
以上、ご両親を扶養家族に入れる条件を満たしているなら、あなたにとっても、ご両親にとっても月々の経済的負担が減りますね。ただし、あなたの年収が、課税の対象となる最低年収以下であれば、所得税がゼロとなりますので税金の還付はなくなります（税制改革でどんな少ない年収でも年収に応じた小額の徴税をする方向に税制改革が行われることが検討されていますね。）。ただし、ご両親は、あなたの扶養家族になることで健康保険料は支払わなくて良くなることには変りありません。

扶養家族に入れると両親の健康保険があなたの勤務先の健康保険（国家公務員、地方公務員、民間会社などにより保険の種類が変ります）に加入することになります。あなたの健康保険の毎月の天引き額が変るわけではありません。現在、両親が国民健康保険に加入していれば、両親は健康保険料の２人分の毎月の負担が減ります。（両親にとっては経済的なかなりのメリットがあります。あなたの負担が増加するわけではありません。勤務者全体で健康保険料を負担しているわけです。）扶養者になるには年間の収入が130万円以下（未確認、大体の額です。）の収入であることが必要です。
両親の国民年金保険は、両親は60～65才（年齢は徐々に引き上げられていますので将来は65才までに統一される予定）までは、払い続けなくてはなりません。あなたの扶養者になっていれば、両親の国民年金保険の保険料をあなたの所得から控除できます。つまり、あなたが給料から源泉徴収される所得税の一部が還付されます（戻ってきます。）年末調整で払いすぎの分が調整されます。
（１）収入が少なくなることはありません。
（２）会社の負担が増えることはありません。保険証の発行の事務が多少変りますが、通常の事務の範囲ですから特に嫌がられることはないです。
（３）あなたが天引きで支払う所得税の一部（源泉徴収）が、会社で行う確定申告で年末調整で還付される（戻ってくる）ので手取りはは幾分増えます。単身者の税金が、扶養者がいないと多少重くなります。
両親が70歳以上になると、特別老人扶養家族控除がついて、その分、源泉所得税の還付が多くなります。源泉所得税の総額を還付額が超えるときは、所得税の額がゼロになります。源泉所得税で納税した以上の還付は受けられません。（還付の最大は増税した範囲までです。）

就職して健康保険に加入する場合、一般的には政府管掌健康保険（いわゆる社会保険）に入ります。
それ以外にその企業（業種）独自の健康保険組合があったり、公務員などが入る共済保険があります。

一般的な社会保険で説明します。
（１）保険料は扶養者の人数に関係なく、Figaro123さんの収入によって決められます。何人扶養者がいようと保険料はそのままです。
（２）会社がいやがることはありません。
（３）社会保険の扶養のみの場合、税金（所得税など）の変化はありません。

社会保険の扶養の条件は、扶養にはいる人の12ヶ月の収入の見込みが130万以下で、月額108,333円以下であることで、Figaro123さんの年収の2分の１であること。ご両親それぞれの収入がこれを超えている場合は扶養に入ることはできません。ご両親が60歳以上の場合は、12ヶ月の収入見込みが180万以下、月額15万円以下です。
尚。別居の場合は、実親で、仕送りしているなどの条件があります。

税金の扶養とは条件が違うので、気をつけてください。