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はじめに
無線システムを構築する場合、通信距離と通信品質との関係を数値的に把握することが求められます。数値が示されれば多少の誤差があっても、構築するシステムに対する信頼性の根拠を与えられることになります。数値に対しては通常かなり大雑把なマージンをとるのが無線通信の世界です。マージンをとらず限界付近で使用すると、後で余分な苦労をすることになります。
通信品質を示す具体的数値としてはC/N比があり、これは受信機の受信電力Cと雑音電力Nとの比です。受信電力は送信電力と伝搬損失、受信機性能で決定されます。また、雑音は受信機アンテナに乗ってくる自然雑音とアンテナ自身の雑音、受信機内部雑音の合計でシステム雑音として扱います。
C/N比はシステムのビットエラー率を決定するので、この比が大きいほどビットエラー率が低く、結果的に通信距離が延びることになります。通信距離が一定のシステムを考えると、伝搬損失は一定で送信電力も電波法で一定値に規定されています。また、アンテナから受信機までの雑音を一定と考えると、あとは受信機の内部雑音を下げるしかC/N比を上げる手段は無いことになります。受信機性能を見極めるパラメータとして受信感度が注目されますが、メーカにとっては、いかに雑音電力を少なく作り上げているかが問われていることになります。
一方、製品として出来上がった無線機を考えてみると、雑音電力、伝送速度、送信電力が一定で、伝搬損失も一定ですから、通信距離は一義的に決まってしまうことになります。このことから通信距離は伝送速度と送信電力で決まってしまい、伝送速度が遅ければ遅いほど通信距離が延びることになります。
また、ご存じの通り変復調方式には色々な形式がありますが、この方式の差に関わらずビットエラー率と信号電力、雑音電力との関係を把握する手段として、ビットエネルギー対雑音電力密度比Eb/N0（イービー・バイ・エヌゼロ）という判断基準があります。Eb/N0はシステム回線設計に重要な役目を持ち、所要ビットエラー率を決定してから所要受信電力や所要C/Nを求めることにより、回線の評価把握ができます。
Eb/N0を使った回線設計のアプローチについては専門書やwebに沢山書かれていますが、Eb/N0自体の意味については説明がありません。本テクニカルアーティクルでは、Eb/N0の意味を少しだけ掘り下げてみたいと思います。ただし、誤りがあるかも知れないことを付け加えておきます。
説明に当たっては、javaアプレットによりビジュアルに理解できるように努めました。
無線システムのレベルダイアグラム
無線システムの通信品質を判断するための一つにC/N比があります。C/N比のCは受信電力でNは受信機の雑音電力です。送信機と受信機の間の電波レベルと受信機における雑音電力との関係は下図のようになっています。
この図における受信電力PrがCに相当します。またNsがＮに相当します。
無線システムを自由空間に設置したと想定し、送信機から受信機までの電波レベルを具体的数値で示すと次のようになります。計算はデシベル値で行いますが、弊社webページの電波伝搬特性計算アプレットで計算できます。
数値例：
送信周波数400MHz、送信電力Pt=10dBm(10mW)、通信距離1000m、自由空間伝搬損失等Lall=84.5dB
送信ケーブル損失Ltc=5dB、送信アンテナ利得Gta=2.14dBi
受信ケーブル損失Lrc=5dB、受信アンテナ利得Gra=2.14dBi
受信電力Prは
Pr=Pt-Ltc+Gta-Lall+Gra-Lrc=10-5+2.14-84.5+2.14-5=-80.22dBm
アンテナ利得はGta=2.14dBiなので、等価等方輻射電力Peirp(EIRP)は次のようになります。
Peirp=Pt-Ltc+Gta
伝搬損失は実際の通信環境に依存し、次のような違いで大幅に異なってきます。
・固定局と移動局
・地上と高所
・都会地と田園地
・室内と屋外
・晴れの日と雨の日
・見通しあるいは障害物
・その他
しかし、これらの事を全て考慮して計算することはできないので、理論的に求められる数値に対してマージンをとることで、実際的な結果を予測することが行われます。理論的に伝搬損失を求める方法には様々な方法が提案されていますが、特定小電力無線機の用途からしてそれほど厳密な値を知る必要は無く、目安程度でも構わない場合がほとんどです。伝搬損失を計算する方法として、弊社では自由空間環境と2波モデル適用環境の場合の数値例をお客様に提示しています。田園環境の地上で使用する無線システムの伝搬損失は、2波モデルの伝搬損失カーブに極めて近くなっており、通信品質判断基準とすることができます。ただし、屋内で使用する場合は変動要素が多く単純にはいきません。
受信電力については、送信機と逆の関係になります。通信品質とは微弱電力の時にビットエラー無く、いかにデータを複号するかという事であり、信号電力Cと雑音電力Nとの関係で決まってきます。
無線機仕様書には受信感度が｢BER=0.1%の時-110dBm｣などと記載されており、受信電力Prが少なくとも-110dBm必要なことが分かります。そして見通し環境に設置する場合においても、この値に対して20dB程度のマージンをとって-90dBmの受信電力が確保できる位置に設置する必要があります。
＜注意＞
技術基準適合証明を受けた特定小電力無線機の場合は、無線機とアンテナが一体型なのでケーブル損失はありません。メーカ出荷時にアンテナ端子に電力計を接続して規定値であるか確認しています。アンテナ利得は2.14dBiです。
受信感度
無線機の選定基準には性能、価格、形状などがありますが、性能面に限ってみるとやはり通信距離が重要なパラメータのようです。とにかく遠くまで飛ばしたいとのことで、お客様からの問い合わせの最初に必ず聞かれます。最大の通信距離位置では電界強度がかなり低く、外的要因によって電界強度が大きく変動しビットエラーが発生する事になります。受信感度と通信距離との関係は、当然受信感度が高いほど通信距離も延びるわけです。
ところで良く聞く受信感度とは、規定した受信機性能（ビットエラー率）を確保するための最小の電力値のことであり、測定の条件によって違ってきます。これは、｢エラー率が何%の時に何dBm｣という表現になります。ビットエラー率で規定されることもあれば、パケットエラー率で規定されることもあります。デジタル変調の受信感度は、パケットでデータ伝送されるので、実際に受信機に何パケット届いたかが判断基準になります。受信感度はメーカ側で測定器で実測した値で、実環境での値ではない事に注意してください。受信感度は、ランダムな符号（PN符号）を送り、規定したエラー率になったときの入力電力値です。
従って受信感度の値だけで性能比較するには慎重に行う必要があります。ちなみに、電波法とかで規定されているわけではありません。
ビットエラーとは
例えば送信側データの1をハイレベル、0をローレベルに割り付けたとします。電波という形で受信機に到達し、データは複号されますが、複号するデータには雑音が含まれており複号動作に影響を与えます。この様子をイメージとして下図に示します。
この雑音の元は、受信機入力部の熱雑音と受信機内部で発生する内部熱雑音の合計で、信号と伴に受信機の利得分だけ増幅されて復調部に入ることになります。
ビット判定器（データの複号）ではビットデータ期間の中央でサンプリング（電圧検出）し、電圧的に閾値（スレッショールド）と比較しビットのハイ、ローレベルを決定します。ここで注意することは、サンプリングポイントの瞬間の値で判定されるということです（ゼロクロスで判定する場合もある）。複号データには雑音が含まれており、この電力は信号の強弱に関わらず一定です。
受信機の搬送波処理部の性能は使用デバイスに依存して違うので、雑音量も当然ちがいます。下図は受信機のビット判定部でどのようにビット判定されているかを示したものです。①は搬送波処理部の雑音が少なく、サンプリング位置でのレベルが閾値を超えることはありません。②も同じです。一方③は雑音電力が大きく閾値を超えることがあり、サンプリングポイントと一致すると判定を誤ることになります。これがビットエラーと呼ばれるものの実体です。
人が③の図を目をかすめて見ると正常データとして判別できますが、ハードウェアでは判別が難しいのです。フィルタで雑音を取り除いても帯域内の雑音でこの様なことが起こります。つまり、ハードウェアにとっては信号であるか雑音であるかは関係なく、ひたすら判定しているだけなのです。
以上のような理由からエラー無く複号するためには、信号電力Cと雑音電力Ｎの比C/Nが大きい事が求められるのです。信号電力は設置状況と受信機性能で決まってしまうので、エラーを無くすためには受信機の雑音電力を下げる必要があります。
雑音はガウス分布
上図の③をよく見るとビットエラーの原因は、サンプリングポイントで時たま閾値を超えるような雑音があり、判定の結果、電圧値が逆転しているだけのことです。この位置でこのような雑音レベルになる確率は下図に示すように正規分布（ガウス分布）になります。システム設計において、所要エラー率の時の所要受信電力を計算するためには確率論が必要なのです。
受信機のビットエラー率に関係してくる雑音の種類には、熱雑音、ショット雑音、フリッカ雑音、自然雑音、人口雑音など各種あります。熱雑音は温度を持った抵抗体から発生する雑音で、1Hz当たり-174[dBm/Hz]という電力の雑音で受信機の入力部に加わります。ショット雑音は受信機を構成する半導体に起因した内部雑音です。自然雑音はアンテナに飛び込んでくる宇宙雑音などで、人工雑音は自動車や工場などから発生する雑音です。受信機の入力雑音と内部雑音は搬送波処理部の利得分だけ増幅され、復調器に入力されることになります。
しかし、これらの雑音を全て考慮し理論的に雑音電力とビットエラー率の関係を解析するのは容易ではありません。従って、理論的には連続性雑音という性質から、熱雑音とショット雑音を加法性白色ガウス雑音として扱うことがあります。（ただし、雑音電力のほとんどは熱雑音です。）
加法性白色ガウス雑音はAWGN(Additive White Gaussian
Noise)と呼ばれるもので、周波数的には全帯域に渡って等しい電力密度の白色雑音であり、時間軸でみると雑音振幅レベルの出現分布がガウス分布になっていてランダムな無相関信号です。
熱雑音の電力密度ND(f)は1Hz当たり電力量で計算式は次のようになります。
ND(f)=κ*To=1.38×10-23×290=4.0×10-21[W/Hz]=-174[dBm/Hz]
つまり、受信機入力の雑音電力は最低でも-174[dBm/Hz]あり、この1Hz当たりの雑音電力が増幅され出力（復調器入力）に現れることになります。なお、データを伝送するには伝送速度に関係して一定の帯域幅が必要で、出力はその帯域に落ち込む雑音電力が加算されることになります。
また、増幅回路自体も雑音を発生する部品で構成されており、この雑音電力は内部雑音電力として利得分増幅され出力されることになります。
従って出力の雑音電力は後述するようにこれらを合計したものになります。
例えば、通信速度を2400bps、等価雑音帯域幅を1200Hz(31dB)とすると、搬送波処理入力部の雑音電力は-174+31=-143[dBm]となります。これが後続回路の利得分だけ増幅されることになります。
画像クリック： 加法性白色ガウス雑音(AWGN)のデモアプレット
（新しいウィンドウが開きます）
Eb/Noとビットエラー率
◇Eb/Noとは
Eb/Noとは「ビットエネルギー対雑音電力密度比」の事ですが、この意味は次のようなものです。
無線システムには変調方式の違いや、シンボルレートの違いがあることはご存じと思いますが、例えば、ビットエラー率を評価する時は、これらの違いが大きく関係してきます。変調方式やシンボルレートが違っても同じ尺度で評価する必要があり、Eb/Noという基準が用いられています。
色々なことについて言えるのですが、何かと何かを比較するためには同じ判断基準を以ってしないと、不公平（無意味）になってしまいます。案外この事が無視され曖昧なまま評価されることが多いのが現実です。
Ebとはベースバンドにおける1ビット当たりの信号エネルギーのことで、ベースバンドの信号エネルギーとシンボルを構成するビット数の関数です。
Noとはベースバンドにおける雑音電力密度のことで、受信機の復調器の雑音電力と帯域幅から求められる値です。
Eb/Noはこれらの比で、変調方式の違いを吸収してエラー率という基準で同じ評価ができるのです。所要エラー率から所要Eb/Noが決まれば所要受信電力Cが求められ、伝搬損失等との関係から無線システムを把握することができます。
なにやら難しい数式ですが、代表的な変調方式のビットエラー率はEb/Noから次の式で求められます。ここで検波方式は同期検波、erfcは相補誤差関数です。
代表的な変調方式のビットエラー率対Eb/Noの関係をアプレットにしてみました。
グラフの通り、Eb/Noとビットエラー率の関係は受信機の検波方式、環境によって変わってきます。
例えばＭＳＫ変調の同期検波であるとき、AWGN環境でビットエラー率0.00001（1E-5:一番下）を実現するには、Eb/Noが9.5dB必要であることになります。
この所要Eb/Noから受信機の利得、雑音指数を元に所要受信電力C、所要C/Nを求めることができるのです。
双方の無線機を自由空間に固定して設置した場合は、AWGN環境のEb/No値が採用でき、無線機が移動したりマルチパスがあるような場合はフェージング環境での値を採用します。
画像クリック： 所要BERから所要Eb/Noを求めるアプレット
（新しいウィンドウが開きます）
所要Eb/Noから所要受信電力Cを求める
無線システムで必要な所要ビットエラー率を決定すると所要C/Nを求めることができますが、最初にこの値を求めるための前提について下図に沿って説明します。
受信電力は設置環境によって決まる値ですが、雑音電力の多くは受信機のハードウェアに依存します。特定回路で発生する雑音電力を、同等のエネルギーを持つ熱源の温度で表すことがしばしば行われます。また、下図のRFブロックのように複数の回路が入っている場合も同様な考え方を適用でき、さらに受信機システム全体としても同様な考え方をすることができます。下図ではアンテナ部を除き、雑音源をそれぞれの回路（ブロック）の前に置き、回路（ブロック）自体は雑音が無いものとして扱っています。
受信機システムとしては、下図のようにRFブロックの前にシステム雑音温度の基準点を設け計算することが行われます。
例えば、下図のRFブロック内のRF部雑音電力Nrfは、雑音温度Trfと回路利得Grf、等価雑音帯域幅Bから次のように計算されます。
Nrf=Trf*κ*Grf*B
基準温度To=290K(16.85℃)
κ：ボルツマン定数 1.38×10-23[J/K]、To=290[K]
RFブロックの中には3種類の回路が入っており、RFブロックとしての雑音温度Trbは
Trb=Trf+Tm/Grf+Tif/(Grf*Gm)
のようになります。
また、RFブロックの雑音電力Nrbは次のようになります。
Nrb=κ*Trb*B
システム雑音温度Tsとシステム雑音電力Nsは次のようになります。
Ts=Tin+Trb 、Ns=κ*Ts*B
次にシステムとして必要なビットエラー率に対するEb/Noを決定します。所要受信電力Cは以下の関係式から求めることができます。
雑音電力密度Noはシステム雑音電力Nsを雑音帯域幅Bで割ったものです。
No=Ns/B
また、Ebは次のようになります。
Eb=(Eb/No)*No
所要受信電力Creq及びC/Nは次のようになります。
Creq=Eb*B 、 C/N=Creq/Ns
例えばRFブロックは下図のような構成になっており、各回路の雑音温度や利得からブロックの雑音温度、利得が計算されます。
なお、実際にあるFM受信機は非線形変復調であることと、リミッタ回路等が有るので計算はとても複雑なものになるようです。
所要Eb/Noから所要受信電力Cを求める数値例
先に説明したようにEb/Noは変調方式の差を吸収するものですが、C/Nは変調方式のシンボルレートに関係して変化します。ここでは話を簡単にするために、BPSKのように1シンボルを構成するビット数を1（2値変調）として説明します。
条件：
フェージング環境、基準温度290K、ビットエラー率2E-3(0.002)、受信機システム雑音温度Ts=1600K、
受信機システム雑音電力Ns=-138.8dBm、等価雑音帯域幅B=600Hz(27.8dB)
機器条件：周波数400MHz、送信電力10dBm、送信アンテナ利得Gta2.14dBi、受信アンテナ利得Gra2.14dBi、送受信ケーブル損失0dBm、
BPSK変調、同期検波、通信速度1200bps、
環境条件：2波モデル、送信機高1.5m、受信機高1.5m、通信距離3000m、
◆フェージング環境におけるビットエラー率が2E-3(0.002)の時の所要Eb/Noをグラフから求めると、Eb/No=21dBとなります。
従って、
Eb=(Eb/No)+No=21+(-166.6)=-145.6[dBm-Hz]
雑音電力密度Noは
No=Ns-B=-138.8-27.8=-166.6[dBm/Hz]
所要受信電力Creqは
Creq=Eb+B=-145.6+27.8=-117.8[dBm]
C/Nは
C/N=Creq-Ns=-117.8-(-138.8)=21[dB]
理論的にBPSKの場合はEb/NoとC/Nが同じ値になります。
以上により、ビットエラー率2E-3(0.002)を実現するためには受信電力が-117[dBm]必要となります。
◆一方、400MHzのシステムで上記条件の時の実受信電力Cactを求めてみると以下のようになります。
送信機の等価等方輻射電力Peirpは
Peirp=10+2.14=12.14[dBm]
通信距離3000mで2波モデルを適用すると伝搬系損失Lallは
Lall=132.04dB
受信系利得Gr_allは
Gr_all=2.14dB
実際の受信電力Cactは
Cact=Peirp-Lall+Gr_all=12.14-132.04+2.14=-117.8[dBm]
となり、所要Eb/Noから求めた所要受信電力Creqと実受信電力Cactが一致します（逆算しているので当然）。これは実際の無線機性能とほぼ近い値と思われます。
◆所要Eb/Noから所要受信電力Cを計算するアプレット（2値変調の場合）
計算するには黄色の部分にパラメータを入力して下さい。
画像クリック： 所要Eb/N0から所要受信電力C、所要C/Nを求める(2値の場合)アプレット
（新しいウィンドウが開きます）
おわりに
無線システムに必要な通信品質を決定しEb/Noから、そのシステムに必要な受信電力Creqを求めてみました。この値は実際の無線機システムの性能と一致します。低速な伝送速度で間に合うならばできるだけ遅い方が雑音の点で有利です。その結果、受信感度が上がり通信距離が延び、安定した通信ができることになります。
とかく通信距離が問題視される無線機ですが、無線機自体はそこそこの性能を持っているにも関わらず、それを組み込んだ基板のノイズや、環境の影響で、性能を生かしきれていない事がよくあります。原点に返って色々な視点から見直すことも必要でしょう。