単振り子・単振動

質点を長い糸でつるし、糸の上端を固定して、1つの鉛直面内で振動させたとき、どのように書くことができるか？（回転運動はしないとする）

単振り子

質点（質量m）に働く力は、重力mgと束縛力（糸の張力T）だけ。そこで、上図のように座標をとってみる。（糸の長さをl、傾きφとします。）そうすると、

また、質点は束縛運動をするので、図から、

となるのも、容易にわかる。ところで、傾きφが小さいとしたら、以下のようになる。

これらの関係をまとめると、以下のようになる。

この関係から、以下のように書くことができる。

ここで、形を整えるため、

とすれば、

あるいは、x=lφから、

と書くことができる。あとはこれを解けばいい。これは、2階線形微分方程式（たぶん）。特性方程式の解き方とかの物理数学の教科書を調べれば糸口がわかる。これを解くと、

となるはず。C1,C2は、任意の定数。おー、いいね。何となく振動している式が出てきた。

C1,C2は任意の定数なんだから、これを以下のとおり、Aとβの任意定数に変えてみる。

これを、先ほどの式に代入してみると、

これを解くと、

と、よく見る形が出てきた。

これが何を意味するのか、考えてみる。円Oの半径をAとして、P点が角速度ωで円周上を運動しているとして、t=0のとき、P0にあったとしよう。

そうすると、

で、OQ（つまりx）は、

このQの運動を一般的に単振動という。つまり、単振動とは、上記の式で表される運動、まぁ、等速円運動をする点の1つの直径上への正射影の運動のことを意味している。そして、Aを振幅、βを初期位相と呼ぶ。また、ωは、この円運動の角速度であるが、これを角振動数（角周波数）とよぶ。

Pが円周を1周する時間、つまり、単振動の周期をTとすると、

となって、単振り子の場合は、

と書くことができる。