■　レンズのいろいろ（Lenses）

　

　　　　　　---　望遠鏡のより詳細な事については、「望遠鏡レンズ」を参照下さい。

■　光を集める作用（Light Collection）

■　絞りの作用（Diaphram）

歪曲（%） = 100 x （y' - Y'） / Y' ・・・（Lens - 9）

y' ： 歪曲した像の位置

Y' :　理想の像の位置

　

0.7、1.0、1.4、2.0、2.8、4.0、5.6、8、11、16・・・

■　像を結ぶ作用

　

■　ピンホールレンズ（Pinhole lens）　（2005.05.10）

■　鏡とレンズ（Mirrors and Lenses）

凸面鏡の物体位置と像の位置の関係図（上）。　凹面鏡の物体位置と像の位置の関係図（下）。

■　凸レンズと凹レンズ（Convex Lenses and Concave Lenses）　（2005.06.12）（2005.7.30追記）

■　単レンズの種類（Kind of Lenses）　（2005.08.02記）（2005.08.13追記）

　1.の球面レンズに属さないレンズで、身の回りの非球面レンズでは遠近両用の眼鏡レンズがあります。非球面のカテゴリーには放物面、双曲面、楕円面なども含まれます。レンズはガラスを研磨して作る関係上、球面仕上げが基本でした。しかし、球面レンズではたくさんのレンズを組み合わせないと収差が取りきれません。レンズの周辺部を少し削ると、補正レンズの枚数を格段に減らすことができることは昔から知られていました。しかしながら、手作業で磨くならともかく、量産レンズで非球面レンズをたくさん作ることは至難の業で、プラスチックレンズが現れるまで非球面レンズの量産化は実現しませんでした。プラスチックレンズは、予め精密な金型を作っておいてそれに溶けたプラスチックを流し込み、レンズ成形することで複雑な形状のレンズを量産することができます。プラスチックレンズによる非球面レンズの登場で、補正レンズを極端に少なくしたカメラレンズが安価にできるようになりました。

　1995年7月にフジ写真フィルムから発売されたレンズ付き使い捨てカメラ「写ルンです」は、カメラ業界にとって衝撃的な出来事でした。800円程度を支払って、フィルムが入った箱形のカメラを購入し、撮影が終わったら写真屋さんに持って行って、現像とプリントをしてもらうというものです。使い捨てカメラは、そこそこの画質があったので、簡便さも受けてあっという間にフィルムカメラの主力製品になりました。このカメラに使われたのが、1枚のプラスチック非球面レンズ（f=32mm）でした。たった1枚のレンズであれだけの画質が得られるのです。このレンズの特徴は、レンズをプラスチックにして量産化を図り、非球面にして収差を抑え、さらに絞りをF/10にして周辺部の収差も抑え、過焦点距離をかせいで1mから無限遠（∞）までフォーカスが合うようにしています。1枚のプラスチックレンズ成形もさることながら、フィルムの感度向上がF/10という暗いレンズ設計を可能とし、さらに、フィルム面を平面ではなく湾曲させることにより画像周辺部の収差を除去させることに成功しました。1枚のレンズでもあそこまで画質が向上するのか、という特筆すべき事だと思います。

　焦点距離の曲率が一方向のみに設けられた、カマボコ形状（凹型では雨トイ形状）のレンズです。細かい目盛をふったスケールを読み取るレンズにも使われています。また、レーザをシート状にする光学系にもシリンドリカルレンズが使われています。映画用の撮影レンズ及び映写レンズには、シリンドリカルレンズを組み込んだアナモフィックレンズ（anamorphic lens）、及びシネスコレンズ（Cinema scope lens）が使われています。人の眼の乱視にもシリンドリカルレンズが応用されています。ただし、実際の眼鏡ではメニスカスレンズにシリンドリカル形状をあてるため、乱視を補正するレンズには以下に説明するトロイダルレンズが使われます。

　円筒レンズ（シリンドリカルレンズ）を長手方向に湾曲させたレンズです。トロイダルとは円環状のという意味です。トロイダルという名前で一般的なものは、電子部品のトロイダルトランスや、自動車の自動変速機に使われ出したトロイダルトランスミッション（CVT = Continuous Variable Transimission）などがあります。これらはいずれもドーナッツの形状からこの呼び名がつけられています。トロイダルレンズもドーナッツ形状といえなくもありませんが、ドーナツの一部分を切り出したような形状をしています。乱視用の眼鏡レンズは、トロイダルレンズの典型です。トロイダルレンズの曲率を小さくして面が無限大（平面）にしたものが円筒レンズ（シリンドリカルレンズ）になります。

　灯台の投光レンズ、映画照明用レンズ、OHPの投影レンズ、手帳や地図を拡大して見るための携行用のプラスチックプレート状のレンズがフレネルレンズです。通常の凸レンズと違ってレンズに厚みがなく、平板に近い形をしているにもかかわらず集光作用を持つレンズです。このフレネルレンズを結像作用に使おうとすると収差が大きすぎるので、主に光を集める目的に使われます。フレネルレンズは、1822年、フランスの物理学者フレネル（Augustin Jean Fresnel、1788-1827）が灯台の灯光レンズ用として考え出しました。レンズを開発した目的は、レンズの軽量化でした。灯台、サーチライト、映画照明用に使う灯光レンズは、たくさんの光を前面に投影しなければならないので、レンズが大きくなります。そうすると重量がとても重くなるので、軽量化の図れるフレネルレンズは都合良いものでした。また、携帯用のルーペ、老眼者用の書見台用としてもフレネルレンズは安価で持ち運びに便利であるため、プラスチック製の平板のものが使われています。この他、カメラファインダのフィールドレンズとしてペンタプリズムの下に平板のフレネルレンズが貼り付けられています。収納性が良いのが大きな理由です。カメラ用レンズとしてフレネルレンズは使われません。その理由は、レンズ形状が連続ではなく、段階的なレンズ（プリズム）なので周辺部の収差が極端に悪く、使用に耐えないからです。しかしながら、7.で述べるゾーンプレート（DOE = Diffractive Optical Element）の開発により、フレネルレンズ形状でも画像が得られることが実証されました。許容錯乱円以内に像ボケが収まるようにフレネルの断面形状を細かくしてやれば良いということのようです。平板フレネルレンズの材質は、アクリル（PMMA = Polymethylmethacrylate, ポリメチルメタアクリレート) で、金型を使って成形されることが多く10mm角から500mm角程度の大きさのものが市販されています。

　

　▲　灯台のランプハウス

　フランスの物理学者フレネルが、灯台用の灯光レンズとしてフレネルレンズを発明した動機は、レンズを軽量化して効率よい灯光装置を作りたかったからです。産業革命後の1820年当時は、大型の蒸気船の建造が進み海路の安全運行がとても大事になっていた時代で、遠くまで届く灯台の明かりが求められていました。灯台に使われているフレネルレンズがどのような形をしているのか、我々にはあまり馴染みがないのでよくわからないと思います。灯台に使われるランプハウスは、光源を中心に置いた全面ガラス張りの部屋という感じのものです。このランプハウスで海上50km程度まで光を到達させます。光を遠くまで到達させるためには点光源を効率よく平行光にする必要があります。灯台に使われる光源は思ったほど大きなランプを使っておらず、タングステン電球、キセノンランプ、HMIランプが多いようで、出力も250W〜1,000W前後のようです。灯台ができた当初の光源には、鯨の脂が使われていました。それがラード（豚の脂）になり、ケロシン（灯油）になり、電気の明かりに替わっていきました。ススの出ない高輝度光源は喉から手が出るほどほしかったに違いありません。ススのでる光源はフレネルレンズを曇らせ毎日の掃除が大変だからです。電気の明かりができた当時はアークランプが使われ、施設の中で蒸気機関を設備し、蒸気機関によって電気を起こし灯りを作っていました。

　灯台の光源は、光の到達距離が大事なので、光の量よりも光度（カンデラ = 一点から放出される単位立体角当たりの光束）の強いものが求められます。出力の大きい光源は点光源ではなく面を伴った光源となるので、むやみに出力の高いものを使うのではなく、出力は低くても光度の高いランプ（点光源）が選ばれています。一点から放出される点光源を精巧に平行光に変えるのがフレネルレンズの役目です。平行度の良い光線を作らないと、光は遠くまで届かず短い距離で発散してしまうのでフレネルレンズの研磨加工・製作は極めて高い精度が要求されます。

　灯台のレンズは、大きさと性能よって6等級に分かれていて、1等が一番大きく、6等が一番小さいものになっています。日本では、1等級の灯台は犬吠埼（千葉県銚子）、室戸岬（高知県）を含め6箇所にしかないそうです。1等級のレンズは、焦点距離f=920mm、レンズ内径1,840mm、レンズの高さ2,590mmと決められています。レンズは、2面、3面、4面、もしくは8面でできていて、レンズが光源の回りを回転して海上を水平方向にスキャンするようになっています。多面のフレネルレンズで覆われたランプハウスの中心に光源が置かれます。すべての等級にわたってレンズの焦点距離と内径は2倍の関係があり、焦点距離の2倍が内径になっています。つまり光源はフレネルレンズの焦点距離に設置されていて、光源から出た光が平行光で放射される仕組みになっています。1等級のレンズの大きさは2,590mmとかなり大きく、レンズ焦点距離920mmの2.8倍、Fナンバーで表すとF/0.36となります。この値から、フレネルレンズはかなり明るい光学系であることがわかります。灯台のランプハウスのレンズ中心部は、フレネルレンズの特徴である同心円状の薄型凸レンズ形状をしています。レンズの高い位置と低い位置では、長いプリズムを長手方向に緩やかにカーブをつけた構造となっていて、それが何段にも鎧戸のように装備されています。こうしたシャンデリアにも似たようなガラスの部屋で覆われたライトハウスによって、比較的小さな消費電力の光をきれいに整った平行光にして夜の海に遠くまで投光できるようにしています。

　このような軽量化を図ったフレネルレンズライトハウスでも、1等級の重量はレンズ部だけでも5トンにもなると言います。この重たいガラスのランプが回転して夜の海に強い光を投げかけます。光の強さは、1等級の灯台で100万カンデラの光度があるそうです。

　灯台のフレネルレンズを見るととても優雅で芸術性さえ感じます。下図のフレネルレンズは、米国フロリダにあるセントオーガスチン（St. Augustine）灯台のものです。重厚な感じを受けます。こうしたレンズはすべて手作りなのだと思います。一等級の灯台が日本に6灯しかない需要を考えると、世界中で数社程度の光学会社が灯台のレンズを作っているのではないでしょうか。日本の灯台は多くはフランスから輸入していたようです。フランスのソーター・ハーレー社、イギリスのチャンスーブラザーズ社などから輸入して、1919年（第一次世界大戦終結）以降は、国産化に力をいれ、現在では日本光機工業が日本の灯台レンズの製造、メンテナンスを一手に引き受けているそうです。

　

　光学ガラスは、一般に均一の屈折率を持っていますが、このレンズは光の進行方向の断面に対して屈折率が徐々に変化するレンズです。光ファイバーのコア部のガラス組成がこの原理でできています。グリンレンズは、一般的に、φ1.0〜φ2.0mmｘ2〜5mm程度の円柱状のガラス（BSG=ドープされた硼珪酸ガラス）でできていて、ガラス内部の屈折率が中心から周辺部に行くに従って放物線的に変化しているものです。円柱状のガラスレンズは、両端が光学研磨されています。両端が平面であってもガラス内部の屈折率の変化により集光作用があります。グリンレンズでは、平行な光が一方から入ったときに反対側の端面で集光するようにできています。このレンズが端面で集光する働きをもつことから、レンズの性能を表す数値の一つとして波長のピッチで表し、0.25Pと呼んでいます。0.25Pというのは1/4波長を意味していて、レンズの端面に光が収束することを意味しています。無限遠の光の焦点が射出側の端面より外にでるレンズを0.23Pのレンズと言っています。グリンレンズには焦点距離という考え方はありません。平行光がどの位置で集光するかが問題になるレンズです。グリンレンズは、ファイバーのカプリングを目的として使われます。

　光の回折作用を使ったレンズです。通常の可視光域でのレンズとしてよりも、単色光、それも波長の短いX線領域で使われます。可視光領域ではピンホールレンズの派生としての位置づけが強いレンズで、ピンホールよりは明るいけども通常のレンズに比べて暗くて収差が出やすくソフトフォーカスの画像になります。単波長で使うのであればそこそこおもしろい使い方があるのではないかと思います。

　分光分析に使われる回折格子は細かな直線上のケガキ線が普通ですが、ゾーンプレートはきめの細かい同心円状のケガキ円です。中心部から周辺に行くほどパターンの間隔が短くなり、その間隔は使用する波長とパターンの数の積の平方根に比例して決められます。

　X線で使われるゾーンプレートのきめの細かさ（ピッチの間隔）は、ルーリングエンジンを使った機械製作レベルを越えたもので半導体製造技術（フォトリソグラフィー）を用いたナノレベルのオーダーでできています。X線用のゾーンプレートの働きは、ちょうどナノレベルでのフレネルレンズと言えましょう。これは、X線のような非常に直線性が強い光、言ってみれば通常の光学レンズでは収束できない光を集光させたい目的に利用され、X線光源の集光や拡散目的に使われます。この素子は、製造上の問題からあまり大きなものができず、φ1mmからφ5mm程度の大きさに限られるため、この大きさでのX線ビームの取扱となります。 シリコン基板の上にタンタルの金属膜を2.5umの厚さにして、これを同心円のパターン形状として作られます。パターンの巾によって回折限界が求まるので、細かい線ほど波長分解能が良くなります。X線のような波長の短い光は、数十nmレベルのパターンを形成したゾーンプレートでX線光源のレンズが作られています。

　

▲　回折光学素子（DOE = Diffractive Optical Element）

　2000年9月、キヤノンが写真レンズ用に積層型回折光学素子を用いた望遠レンズ（EF400mmF4DO IS USM。EFはEOSカメラ用AutoFocus、DOはDiffractive Optics、ISはImage Stabilizer、USMはUltraSonic Motorの略、価格77万円）の発表を行いました。回折光学素子は、ここで述べているゾーンプレートと構造が極めて似ていて、レンズ面に同心円上の微細なケガキ線を入れることで積極的に回折を生じさせ、これを2枚向き合わせることにより（積層構造）、不要な回折を抑制し効率よく光を伝達できるというものです。回折光学素子（DOE）は、波長による色収差が屈折型レンズと逆になるという特性があり、積層型回折光学素子と従来の屈折型レンズを組み合わせると、極めて良好な色収差補正が可能となります。その補正の性能は、現在主流になっている低分散の蛍石以上の効果が得られると言われていて、尚かつ、回折ピッチ（間隔）を変えることで非球面レンズと同様の収差補正ができると言われています。こうした特徴から、望遠レンズに積層型回折光学素子を組み込むことにより、従来のレンズよりも格段にコンパクトで高性能なレンズが可能になりました。キヤノンは、回折光学素子を写真レンズに応用しようというプロジェクトを1995年に立ち上げ、2000年に試作品を完成させました。5年の歳月を要したのは、基本設計もさることながらミクロン単位でのグレーティング加工が必要な金型設計や、レンズ成形加工の難しさがあったに違いありません。キヤノンが開発した回折光学素子は、直径が100mmの大きさを持ち、中心部は7-8mmの同心円上のピッチ、10ミクロン程度の高さを持ったケガキ線が刻まれ、周辺部に行くに従いピッチが細かくなり100ミクロン程度になっています。

それにしても、回折現象を写真レンズの要素に組み込んだというのはすごい着想だと思います。

　DOEは、今後、望遠レンズの他に眼鏡ディスプレー（HMD = Head Mounted Display）、液晶プロジェクタレンズ、小型カメラ用レンズなどに応用が期待されています。

　

■　薄いレンズ、厚いレンズ

■　実際のレンズの機能と役割　　（2005.3.20）（2009.07.02追記）

▲　焦点距離（Focal Length）

　レンズのもっとも基本的な性能の一つです。レンズは、当然の事ながらレンズの前と後ろに焦点位置を持っています。前方の焦点距離を（F）で表し、後方焦点距離を（F'）で表します。焦点距離が長いと屈折力が弱く焦点距離が短いと屈折力が強くなります。拡大撮影や広い範囲を撮影するには焦点距離の短いレンズを使い、遠い所のものを引きつけて撮影するには焦点距離の長いレンズを使います。 人間の標準的な視角（50°）を画角に持ったレンズを標準レンズと言い、それよりも広い画角をカバーするレンズを広角レンズ、狭い画角をもつものを望遠レンズと言っています。（「焦点距離と画角」参照）

　

▲　レンズの主点

　カメラ用レンズは、収差を抑えるために複数のレンズを組み合わせてレンズを作っています。レンズの焦点距離を決める際に、レンズの光学的中心が問題となります。このレンズの中心位置が主点と呼ばれるもので、Hで示されます。通常レンズには二つの主点（HとH'）がありこの主点の距離を主点間距離と言います。通常薄いレンズや曲率の対称な球面レンズではレンズの主点（H、H'）はレンズの中心にあり、両者は同一です。しかし複数のレンズエレメントで構成されるレンズでは主点が異なるのが普通で、厳密な光学式を定義するときに　主点間距離（HH'）を考慮します。主点間距離を考慮した光学式は以下の式で表されます。

　

D = f（2 + M + 1/M ）+ HH'　　・・・（Lens - 24）

D：　撮影距離　=　被写体から撮像面までの距離

f：　レンズ焦点距離

M：　撮影倍率。

　　　M=b/a　　bとaは（Lens - 1）で定義。

HH'：　主点間距離

a = f（1 + 1 /M ）　　・・・（Lens - 25）

　

b = f（1 + M） 　　　 ・・・（Lens - 26）

M:　撮影倍率

a：　物体点の位置からレンズ主点Hまでの距離

b：　レンズ主点H'から結像点までの距離

　■　レンズの収差（Aberrations）　（2005.09.20）

d、F、C：　ｄ線はヘリウム発光に含まれる589.3nmの輝線、F線は水素発光に含まれる486.1nmの輝線、C線は水素発光に含まれる656.3nmの輝線。ちなみに、D線（アルファベット大文字のＤ）は、ナトリム発光の複数輝線の中央線である589.3nm。アッベ数は、当初ナトリムの輝線のD線が使われていたが、近傍に複数の輝線があって精度を求める上で適切でないため、ヘリウムの輝線であるd線が使われるようになった。

・　凸レンズ：屈折率が高くて分散が低いガラス（バリウムクラウンガラス）

・　凹レンズ：屈折率が低くて分散が高いガラス（フリントガラス）

【ザイデル （Philipp Ludwig von Seidel：1821-1896）】

　1821年ドイツに生まれる。日本の年代でいくと江戸時代後期にあたる。彼の幼少期は、郵便局に勤める父親の仕事の都合で学校を転々とした。18才で学校を卒業した後、すぐに大学に入らずに数学の家庭教師を雇い数学の勉強を始める。このときの家庭教師が、ガウスの元で数学を勉強していた優秀なギムナジウム（大学進学コースの高等学校）の教師であったため、彼の数学素養をいっそう開花させることになった。1840年、19才の時にベルリン大学に入学。当時の慣習として大学在学中に他の大学への留学が認められていたので彼もその例にならってケーニヒスベルグ大学に学び、当代の最高数学者、ヤコブ（Carl Gustab Jacob Jacobi）、ベッセル（Friedrich Wilhelm Bessel）、フランツ・ノイマン（Franz Ernst Neumann）らの手ほどきを受けた。この後、ミュンヘン大学へ移り博士号を取得した。博士号は、天体望望遠鏡に使われるミラーの数学的考察についてであり、6ヶ月後には、光学とは関係のない連鎖分数の収束と発散に関する数学論文を書き上げてミュンヘン大学の講師の職を得た。以後、ミュンヘン大学にて天文学と数学に功績を残した。

　ザイデルの功績は、光学、特にレンズの収差論において傑出した足跡を残したことである。彼の収差論は、数学を巧みに応用して単色光で現れる5つの収差を一つの式で書き表し、収差を除去するレンズ設計の際の一つの指標を作り上げたことである。レンズの設計、およびその考察には、オランダのスネル（もしくはフランスのデカルト）が発見した屈折の法則によって三角関数が多用される。複数のレンズを組み合わせた光学設計では、sinθ = θと近似した近軸領域（ガウス領域）が主流であった。計算が楽だからである。しかし、この領域での考察は像のできる位置は特定できるものの、像の質を論議するには何のヒントも得ることがなく誤差が大きすぎた。ザイデルは、入射/射出光線を sinθ = θ + θ³/6 まで展開して光線の式を構築した。3次の項によって数式化された光学式は、球面から成るレンズの収差が数学的にきれいに整理され、5つの係数となって数式化された。5つの係数は、とりもなおさず上で述べている5つの収差である。

　ザイデルは、レンズの性質を3次項まで取り上げた数式でまとめ上げたが、この数式を解いて5つの収差が取り除かれるレンズデータが即座に得られるかというとそういうものではない。あくまでもレンズの性質を1つの式で書き表せるというものであって、レンズの性質を理解して補正への手引きをしてくれる有用なツールとして位置づけられるだけのものである。

　ザイデルの式では、3次項までしか考慮していないので、写真レンズのように広角で明るいレンズ（焦点距離が短く口径の大きなレンズ）では誤差がなお無視できなくなる。精密な光学設計では光線追跡法にかなうものはない。ザイデルは、自分の学問の成果を同じ大学の天文学者で光学器械製造会社を持っているシュタインハイル（Karl August von Steinheil: 1801-1870、息子はAdolph:1832-1893）に提供し、アプラナート（Aplanat）という対称型広角レンズを1866年に作った。このレンズは、非常に性能がよく、以後、このレンズから様々な発展型レンズが生まれた。このレンズは、1840年にペッツバールの設計したポートレートレンズと双璧をなす初期の写真レンズの傑作であった。

　彼の晩年は決して幸福とは言えなかった。失明が原因で大学教授とアカデミーの要職を早期に辞し、全く見えなくなった彼の看護は、彼が生涯独身で通し家族がいなかったために同じ独身を通した姉が彼の面倒を1889年まで見た。彼の亡くなる最後の7年間は教会の聖職者の未亡人の看護にたよったと言われている。

　また、学術的に功績の多かったザイデルであったが、同国で同年代の数学者リーマン（Georg Friedrich Bernhard Riemann：1826-1866）の編み出した幾何学を邪道なものとして生涯を通して認めなかった。

■　写真レンズ（Photographic Lenses）

■　写真レンズ開発の歴史 　（2005.07.27記） （2006.09.11追記）

【ツァイスとアッベとショット】

　現代光学機器の原点ともなったツァイスとアッベとショットは、どのような関係であったのでしょう。3者のどの人を欠いても現代の光学の発展は遅れていたに違いありません。以下に、3人の人となり、相互の関係を述べることにします。

　

■カール・ツァイス（Carl Friedrich Zeiss：1816-1888）

　カール・ツァイスは、ドイツワイマールに生まれた。父親は玩具職人であったという。グラマースクールを卒業後、光学機器を製造するお店（師匠はフリードリッヒ・ケルナー）に奉公人として働き、イエナ大学（The University of Jena）で光学、物理学の講義を受けた。1846年、彼が30才の時に独立して、小さな光学機器を作る店をイエナに開業し、簡単な顕微鏡や光学機器などの製造販売を細々と始めた。イエナ大学も当然大切なお客様であった。顕微鏡製作を始めたのは、植物学の教授であるシュライデンからの勧めがあったからと言われている。当時の彼の会社はまったく無名で、ツァイスの名前が少しは知られるようになったのは、1847年、彼が31才の時あたりからであり、奉公人を一人雇った時からであった。この年には顕微鏡を専門に製造する店となって、解剖学用の単玉の顕微鏡製造を始めた。この顕微鏡は、その年23セット売れたという。彼は次に複合レンズを使った顕微鏡製造に乗り出して、これが評判となった。出来が良かったのである。1861年、彼が45才の時にはドイツで最高の栄誉とされる科学器機のゴールドメダルを受賞した。この頃には彼の工房には20名の従業員をまかなうまでに大きくなっていた。1866年までに、彼は1000台の顕微鏡を製造し販売した。彼は正規の大学教育を受けていなかったので、顕微鏡製造で性能を向上させていくのはトライアンドエラー（試行錯誤）しか方法がなく、現状に甘んじることなく絶えなる光学の問題点を解決していくためには、光学の理論的な裏付けのできる技術指導者が必要なことを痛感していた。

　そうした折り、彼はイエナ大学で数学と物理学で教職をとっている26才若い有能な学者、エルンスト・アッベと知り合うことになる。当時のアッベは駆け出しの無給の大学講師であった。田舎大学のイエナ大学には潤沢な物理実験器具が無く、アッベは満足に動きそうもない実験器具に手を加えながら、学生に物理実験を教えていたという。実験器具を手直しをする時に、自分の手ではどうしてもできない所は外に頼むしかなく、イエナの町では腕の良い精密機械業者がカール・ツァイス社であったので、それがもとで二人は交流を深めることになる。当のカールの会社でも、先に述べたような顕微鏡作りに性能の良いものができずに悩んでいた矢先でもあったので、双方は良き理解者と協力者になっていった。カールは、アッベと共同で1869年に顕微鏡の光源装置を開発する。

　1872年、カールは、エルンスト・アッベを彼の会社に招き入れて、共同で光学機器の性能向上を目指して技術開発を行っていった。アッベは、光学に関して明晰な判断と数学の理論を持っていて、彼の発見した球面収差を補正する正弦条件（sine condition）を用いて理想のレンズ作りがツァイス社で始まった。

　1884年頃からは、オットー・ショットがガラス光学技術を提供することとなり、ショットの良質ガラスをレンズ材料とすることによって世界最高水準の光学機器を提供できるようになり、ツァイスの名前をさらに有名にしていった。

　カール・ツァイス自身は、ツァイス財団を築きあげず72才で天寿を全うした。

　彼の意志を受け継いで、ツァイスを財団に仕立て上げ労働条件を改善した会社運営の舵を切ったのは、彼よりも24才若く、彼の死後17年長く生きたアッベ博士であった。

　20世紀に入って第二次世界大戦が終わる1945年までの半世紀は、カール・ツァイス社は世界の最先端を行く光学機器会社であった。しかし、第二次世界大戦におけるドイツ敗戦によって、ロシアに占拠されたイエナの地はカール・ツァイス社が分断されるという事態に見舞われた。第二次世界大戦後、ドイツの東西分断によって、ドイツ東部にあったイエナはソ連占領統治下に置かれることになる。しかし、連合軍は、世界最高技術を持つカール・ツァイスの光学技術がソ連にわたることを恐れ、ソ連軍に先んじてイエナに入り、技術者の多くを半ば強制的にシュトゥットガルトに移動させ、もう一つのカール・ツァイス社として光学機器の生産を引き継がせた。一方、ソ連軍はイエナにあった工場群を接収、残った技術者もソ連に送った。これによってカール・ツァイスは東西に分裂し、西側はシュトゥットガルト近郊のオーバーコッヘンに新会社が設立され、東側はイエナに半官半民の「人民公社カール・ツァイス・イエナ」を置くことになった。カール・ツァイスは、東西ドイツ双方で生きることになったのである。東西両国に分かれたカール・ツァイス社は、どちらがツァイスの名やコンタックス等商標の権利を持つかで法廷闘争に及ぶ長年にわたる争議が続けられた。

　1989年、ドイツ統合後には、再び一つになった。財団傘下の企業として、カール・ツァイス社やツァイス・イコン社（Zeiss-Ikon）、ショット・グラス社 (Schott Glas)などがある。

　

　

■エルンスト・アッベ（Ernst Abbe：1840-1905）

　アッベは、紡績工を父に持つ貧しい家庭に生まれ、奨学金によってイエナ大学で物理学と数学を学び、その後ゲッチンゲン大学で熱力学によって学位論文を取得した。1863年、23才の年にイエナ大学に講師の職を得て物理学と数学の研究に入る。1870年にはイエナ大学の物理学と数学の教授（ただし員外教授）になり、1878年、38才の時にはイエナ天文台と気象台の台長に任命されている。天文台とはいえ、田舎町イエナの天文台は質素なもので、家族の住む小さな家が天文台についていたのでそこで生活をしていた程度であった。天文の施設はお粗末なものであったという。その間、1866年にはツァイス社から技術所長の招聘を受け、光学の研究に没頭していくようになる。ツァイス社の技術所長と言っても従業員5名の小さな会社のことである。光学顕微鏡の理論的解明協力を依頼された当時のアッベは、26才の無給の大学講師であった。暮らし向きは貧しかった。しかし、当然、彼には光学によって財をなしたいとか、学問の世界で有名になって学府の長に立ちたいという野望は希薄であった。その証拠に、彼の学問が世間に認められるようになった1878年、ベルリンの有名な物理学者ヘルムホルツが彼の家を訪ね、学問の都であるドイツ帝国の首都ベルリンに出て、ベルリン大学の物理学教室の特別教授の職に就く申し出をした。彼は、しかし、その職を断りイエナでのカール・ツァイスとの顕微鏡の共同研究の道を選んだ。清貧の求道者のようであった。彼がイエナ大学であまり良い待遇を受けていなかったのは事実のようで、彼は生涯正教授になることはなかった。それは一つには彼の出自がよくなくプロレタリアート出身であった事が大いに影響していた。アッベは、イエナ大学の正教授であるカール・スネルに認められ、彼の娘を嫁にもらうという幸せをつかんでいたが、イエナ大学から認められるまでには至らなかった。また、彼の家族に不幸が襲う。1874年末から彼の家族のすべてがチフスにかかってしまった。家族を救うためには自分も健康になることはもちろん経済的な助けが必要であった。この状況の中で、アッベはツァイスに手紙を出している。ツァイスからの提案は、彼の会社の共同経営者となることであり、その見返りとして全売り上げの利益のうち1/3をアッベが受け取るというものであった。彼らは、1876年にその契約を交わした。

　1868年、アッベは顕微鏡におけるアポクロマチックレンズを考案する。ただし、この顕微鏡もこれを作り上げる光学ガラスがなかったために、ショットが作ったイエナガラスができあがるまでの20年間、1886年まで待たねばならなかった。また、アッベは、1869年に顕微鏡に使う照明手法を考案し、その光源装置を製作する。1872年には、彼を有名にするレンズ収差に関する正弦条件（Sine Condition）や光学の倍率限界を解き明かす。数年のちには彼の理論に裏打ちされたツァイスの17種類の顕微鏡レンズが完成した。顕微鏡レンズの開発にあたって、彼が示した光学材料の性質を示すアッベ数（Abbe Value）は、光学設計の大切な設計数値となった。アッベ数とは、3成分の波長（C線、D線、F線）の屈折率を使った逆分散値で、この数値をきめ細かく決めた光学ガラスの製造と品質管理によって、光学機器は設計通りの性能が出るようになった。またアッベは、精密工学分野でも足跡を残し、測定物と基準物を同一の軸上に配置して機械的に生じる誤差をできるだけ小さくするアッベの原理を編み出し、これを応用した測長器を開発した。測長器は、ツァイス社で光学機器を製造する際に精度が良く歩留まりのよい製品を作るのに不可欠なものであった。アッベは生産技術でも多大な足跡を残したことになる。

　1882年、イエナガラスも完成せず、アポクロマチックレンズもできていない時期、ドイツの医学学者コッホ（Heinrich Hermann Robert Koch：1843-1910）がツァイスの顕微鏡を使って結核菌を発見する。その当時のコッホは、ベルリンの帝国衛生院の所員であった。アッベは、コッホに油浸系顕微鏡を紹介し、明るさを大幅に向上させるための改良を施した照明装置付き顕微鏡の活用をアドバイスしたと言う。ツァイス社は、レンズのみならず装置そのものまで深い洞察力で装置を向上させていたことが伺えるエピソードである。ちなみに、細菌はフランスのパスツールが1862年に発見している。20年もの歳月をかけてようやく完成させた至宝のアポクロマート顕微鏡を、アッベは意図的に特許化しなかった。当時、ツァイスには、同国のライバルであるエルンスト・ライツ社（Ernst Leitz, Wetzlar：1850年設立）がいた。アポクロマート顕微鏡ができたとき、いよいよ自分たちの会社（ライツ）も終わりかと思ったと言う。しかしアッベがあえて特許を申請しなかったことにより、ヴェッツラーにあるエルンスト・ライツ社もアポクロマート顕微鏡製造ができるようになった。

　1888年、アッベのよき理解者、カール・ツァイスが亡くなる。アッベが58才の時である。アッベはツァイスの亡くなった1年後、彼らの会社を私物化せず公のものにするためカール・ツァイス財団を作った。財団を作る際に、カールの息子ローデリッヒ・ツァイスがカールの財産を相続して発言権を持ち、アッベとは違う方向で会社を運営しようとしていたので、アッベは善意を尽くして財団設立に同意させたという。この財団のすごいところはアッベ自らの財産を提供したのみならず、ツァイス社が発明した多くの特許を無料で公開したことである。この財団は、現代の企業が取り入れている労働者の働きやすいいくつかのアイデアを盛り込んでいた。その代表的なものは、1日8時間労働であり、有給による休日休暇や、労働災害や病気による保険の適用などであった。アッベの父が、紡織工として一日16時間の労働で身を粉にしてアッベを育てた時代背景と、同時期の同じ地域の哲学者、経済学者、革命家であるカール・マルクス（Karl Heinrich Marx：1818-1883）が共産主義を唱えて闘争に立ち上がった社会背景を考えると、プロレタリアート出身のアッベが、当時の極悪なまでの社会労働環境をマルクスとは別の方向で改革し、先進的な会社経営を打ち立てたことは記憶にとどめておくべき事と思う。アッベの晩年は、光学技術の科学者と言うよりも会社を運営する経営者という色合いが濃い。経営者としても時代を先取りする優れた雇用システムを取り入れた希有な才能を発揮した。

　

　

■オットー・ショット（Friedrich Otto Schott: 1851-1935）

　ドイツウィッテン（Witten）で板ガラス製造を営む家に生まれた。父親がガラス工業組合の副会長を務めるほどであったから、彼は比較的裕福な家で育った。幼い頃よりガラスに馴染んで成長しガラスの製造、特性をそらんじるまでになった。光学ガラスの祖と言われる。アーヘン工科大学で化学工学を学んだ後、1875年、イエナ大学で窓ガラス製造時の欠陥に関する論文で博士号を取得した。1876年、彼が26才の年にスペインにヨウ素と硝石を精製する工場を立てる。アッベ博士とは、年が11才離れている。カール・ツァイスとは35才離れている。ショットがイエナ大学に入った当時、アッベ博士は同大学の員外教授の職にあり、カール・ツァイスの会社の技術顧問としても活躍していた。ショットは、アッベ教授の光学理論を理解し、精度の良い光学ガラスの必要性を十分に認識していたと思われる。ショットとアッベ教授とは光学ガラスに関する意見交換がずいぶんとあったようで、1877年から光学ガラスの基礎研究が両者の間で始められている。1879年、ショットは新しい光学ガラス特性の見解を聞くために、酸化リチウムを含んだ新しい光学ガラスをアッベ博士の元に送った。測定の結果、そのガラスはアッベが望んでいた性質を持つものではなかったがショットの仕事ぶりに大いに感銘を受けたという。以後、アッベとショットは光学ガラスに関して長い書見のやりとりを続けることになる。3年の技術書見交換を通じて新しい光学ガラスを作り出す段階にまでこぎつけ、1882年、ショットは研究する場所をイエナに移した。そしてさらなる新しい光学ガラスの試作実験が続けられた。この試作実験は、ショットとツァイス社による光学ガラス研究所の設立という形であらわれた。しかし、この研究には非常に多額の資金が必要であったため、ツァイスとアッベだけの力だけでは研究を継続することは不可能になった。そこで、彼らはプロイセンの助成金を申請し、その資金で新しい設備投資を行い研究所をスタートさせた。1884年には、マインツ（Mainz）に新しい光学ガラスを開発するためのSchott & Genossenガラス工業所を設立した。この会社はカール・ツァイス社との共同出資の工場であった。

　1886年には、非分散光学ガラスを開発し、44種類のガラスをリストアップした製品目録を完成させた（■　光学ガラスチャート　参照）。彼らの製品目録は、従来の体系とは大きく異なっていた。従来の光学ガラスが比重だけで区別されていたのに対し、彼らの製品リストには、屈折率や3本のスペクトル線の分散値、比例値まで記載されていた。この精密な光学特性を出せるショットの光学ガラスの完成によって、アッベが20年以上も構想してきたアポクロマートの顕微鏡が実現したのである。ショットはさらに、1887年から1893年にわたってホウ酸珪素による光学ガラスを開発し、イエナガラスの品質を不動のものとした。

　1891年、彼が40才の年には、アッベ博士の趣旨に賛同して自分の持っていたショット企業に関する持ち株をすべてカール・ツァイス財団に移した。以後この財団は、ツァイスグループとショットグループの2本柱で運営されることになった。

　

ガラスは固溶体である。

結晶質構造ではない。

熱を通しやすい。

電気を通しにくい。

応力が集中すると破談（亀裂破壊）しやすい。

金属とガラスは性質が大きく異なります。金属は、基本的に金属色をしていて、透明ではありません。透明な金属はありません。金属は電気を良く通しますが、ガラスは電気を通しません。金属は、結晶構造が複雑で部分部分で結晶構造を持つものの個々の結晶粒塊が集まってできたものがほとんどです。一部固溶体のものもあります。

無機材質の代表的なものは、陶器です。陶器とガラスには、共に壊れやすい、電気を通さないという特徴があり、熱に対しては陶器は強くガラスは水飴になってしまいます。また、陶器は一般に光を通さない不透明体であり、ガラスは透明です。

樹脂とガラスの違いは、樹脂は破談しにくく、ガラスは衝撃に弱く破壊しやすいことです｡

■　代表的な写真レンズ　-　ガウス、トリプレット、テッサー（Gauss、Triplet、Tessar）　（2005.08.26）

【ドイツ数学の巨匠 - ガウス（Johann Carl Friedrich Gauss：1777-1855】　（2005.07.27記）

　ドイツが生んだガウスは、天才の名をほしいままにした数学者としての位置づけが私の中にある。同時代にフランスのフレネル（Augustin Jean Fresnel、1788-1827）がいる。ガウスの小学校時代、1+2+3+・・・+98+99+100の合計和をいとも簡単な数式に置き換えたエピソードや、当時の教師が、もう彼に教えることは何一つ無いと言わしめたほどの早熟で早くから数学的才能が開花していた。多くの優秀な数学者がそうであるように、彼は天文学を専門とし、1807年、30才の年にゲッチンゲン天文台長となって後、40年間その職にとどまった。

　ガウスは数学者としての位置づけが強いが、数理をもとにした物理学への貢献も多大なものがあった。磁気の単位であるガウスや、複素平面の概念を取り入れたガウス平面、最小二乗法の発見、自然界に現れる誤差の分散（正規分布=ガウス分布）の定義など馴染深いものが多い。光学の分野でもガウスは足跡を残している。レンズの主点という考え方を最初に使ったのがガウスであり、主点を用いてレンズ公式（近軸光線）を導いた。レンズ公式とは、1/a + 1/b = 1/f という馴染みの深い簡単な公式である。この公式が成り立つ光学の領域を近軸光線、ガウス領域と言っている。レンズの主点の考えを著した彼の論文は、1840年の発表であるから、彼の晩年の研究ということになる。彼は数学と天文学が主な研究テーマであり、光学は天体望遠鏡の関係から考察の対象としたように見受けられる。レンズ設計も行っていて、後に写真レンズの標準となるガウスタイプのレンズはガウスの設計したレンズが発端となっている。しかし、現在のガウスタイプのレンズそのものをガウスが着想したかというとそうではなく、有名な学者の名前をニックネームのようにして使ったという感をぬぐいきれない。

■　レンズの解像力（Resolving Power）　（2005.10.01）（2006.04.10追記）

　右に示すような一定間隔のストライブ（格子状）のチャートを使って、レンズを通して像を作ったとき、どのように像が結ばれるでしょうか。一般的に、解像力を評価する場合、強度レスポンスによる方法と、空間レスポンスによる二つの評価法があります。

　強度レスポンス法は、チャート（縞 = ストライブ）の濃度を変化させて（濃い濃度から薄い濃度に変化させて）像がどのように追従するかを見る方法であり、空間レスポンス法は、ストライブの周波数を高くしていって（非常に細かな縞格子を使って）どこまで追従するかを見る方法です。

　基本的に、強度が弱くなるに連れて（コントラストの弱い被写体になるにつれて）、像のレスポンスが悪くなります。また、周波数が高くなると像はそれに追従できずに強度レスポンスも悪くなって行きます。

　こうしたレスポンスを評価する際に使うチャートは、白と黒のコントラストが1:1000、もしくは1:30のもので、周波数は、格子間隔を√2、もしくは2^^1/3、2^^1/4の等比数列で刻んだものにしています。コントラストが1:1000というのは、白い部分の明るさと黒い部分の明るさの比がこれだけあるということです。つまり輝度比がこれだけあるということです。一般のCCDカメラは、8ビット濃度で画像を得ているので濃度範囲は1:256となります。この意味では1:1000のチャートは、10ビット（1,024諧調）の濃度諧調を持つことになります。こうしたチャートは印刷によって作られますが、印刷は一般のCCDカメラよりも深い階調が得られるのです。透過型のチャートでは、光学ガラスにアルミなどを蒸着することによってこうしたコントラストを持つものを製作しています。このチャートを使ってレンズで大きく拡大投影させ、レンズを通した拡大像を見てうまく像を結んでいるかどうかを調べます。像は、場合によっては顕微鏡を使って調べることもあります。

　レンズは、中心部と周辺部では当然解像力が異なるので、それを調べるためレンズチャートも中心部と周辺部に解像力チャートを配置します。一般に、レンズ中心部は解像力が高く、周辺部に行くほど解像力が落ちるため、中心部のチャートは細かく、周辺部のものは荒く設計するのが普通です。良質なレンズでは、レンズ中心部は100本/mm程度の解像力があり、周辺部で60本/mm程度あります。4x5インチフィルムを用いる大判カメラレンズでは、イメージサークルが大きいので大きな像面エリアすべてにわたって良好な解像力を求めるわけにはいきません。多くの場合、レンズの絞りを絞るというのは、中心解像力を落として周辺収差を改善させ全体的に解像力を平均化することをねらいとしています。こうすることにより、4インチｘ5インチ（101.6mmｘ127mm）の像面エリアを50本/mm程度の解像力でカバーすることができます。50本/mmは、撮像面上で10um単位の像を結像させる能力ですから、このレンズを使ってCCD固体撮像素子でしっかりととらえるには5um単位の画素を持つ必要があります。（「▼フィルムのレスポンス、固体撮像素子のレスポンス」参照。）5um単位の固体撮像素子は小さいサイズのものでしか供給されておらず、4x5インチサイズの写真乾板に替わる固体撮像素子は世の中にないので、レンズの性能は固体撮像素子に比べて十分あることがわかります。このレンズの性能を十分に引き出す固体撮像素子があるとすれば、その画素数は、20,000x25,400画素となります。ちなみに、35mmライカサイズ（24mmx36mm）フィルム用レンズの場合、平均解像力を70本/mmとすると、6,720 x 10,080画素相当になります。現在の高級デジタル一眼レフカメラの画素が、4,000x3,000画素になっているので、レンズの性能から見るとこの程度の画素が必要にしてかつ十分な性能であると言えるでしょう。それ以上の画素をカメラが持つとレンズの性能が劣るためにレンズ性能の良いものを使うか、画像処理を使って擬似的に画質をあげる必要が出てきます。

　レンズの解像力は、非点収差 の影響によって画像の任意の点で放射方向（ラジアル方向、サジタル方向）と円周方向（タンジェンシャル方向、メリディオナル方向）で解像力が変わってきます。従って、画像の任意の点で双方（サジタル方向とメリディオナル方向）の解像度を検査する必要があります。画像中心部では非点収差 の影響は皆無ですが、画像周辺部にいくほど顕著にこの影響が現れてきます。この理由から、レンズを評価する解像力チャートでは、下に示すように、放射状にテストチャートを配置し、サジタル方向とメリディオナル方向での解像力をチェックするようにしています。

上で述べたように、画像全般にわたって解像力をチェックするためにいろいろなテストチャートが開発されてきました。JIS規格でもレンズ性能を検査するチャートの規定があり、専用のチャートを製造販売しているメーカもあります。チャートは、基本的には先に述べた格子状のものとドット状（もしくはドーナッツ状）のもの、それに菊の花びら形状のものがよく知られています。こうしたチャートの大きさの異なったものを並べて、画像の部位によってどこまで再現できるかを検査します。検査する値は、多くは［lp/mm］（ラインペア/ミリ、ミリ何本）という言い方で表現します。　

　

JIS解像力チャート。解像力の細かさを若干ずらして直交配置したもの。数値は、格子巾ペアの間隔。3.5は、白黒一対が3.5mmの間隔を示す。

JIS規格の解像力チャート。2^1/3の等比級数で作られる。縦方向と横方向で組み合わせられている。

ドットチャート。歪曲の度合いをチェック。

濃度と色情報をチェックするカラーチャート

四半円形状のターゲットチャート。自動読み取りソフトで使うチャート。レンズの歪みを計測。

ジーメンススター（Siemens' Star）ターゲット。放射状に拡がる菊状のターゲット。焦点ポイントのチェックや非点収差のチェックに利用される。

　上のチャートのうち、解像力をチェックするのは最上段左に示した短冊状の格子線を使います。格子線のピッチは、縦と横の何組かの構成でできあがっています。このチャートが白黒一対の巾が3.5mmだとして、これを撮影倍率1/50に縮小してカメラに撮影したとすると、この格子は撮像面で、

　　　　　　3.5/50 = 0.07mm（14.29本/mm）

となります。

　ドット状のチャート（上右図）は、主に歪みのチェックに使われます。このチャートは、解像力というよりも像の歪みを主に調べるチャートです。ターゲット中心を画像解析ソフトウェアで自動的に特定する場合には、その下の図に示したような四半円形状のターゲットマークが使われます。

　上図の中程左にあるチャートは、濃度や色を見るためのものです。このチャートではグレーが18段階（85％〜3.5%）に分かれ、カラーは、赤・緑・青・シアン・マゼンタ・イエローの三原色で構成されています。このチャートでは、レンズというよりもレンズを含めたカメラが正しく濃度や色情報を記録しているかのチェックを行います。

　上図の下に示したものは、ジーメンススターと呼ばれるもので放射状の形状をしています。放射形状のチャートは非点収差 をチェックするのに都合が良く、どの方向にピントが出ていないかを知ることができます。

　映像を結ばせるレンズは、アナログの情報伝達要素です。従って、アナログ要素であるレンズを評価するには、上で述べたようなチャートを目的に応じて使い分ける必要があります。映像を記録するCCD（CMOS）固体撮像素子は、映像を画素という1単位に分解する点でレンズとは異なりデジタル要素と言うことができます。固体撮像素子ができる以前の撮像管を使ったテレビカメラや銀塩フィルムは、画素という概念がないのでアナログ要素でした。アナログのレンズを使って、アナログの撮像管テレビやアナログの銀塩フィルム感光材に記録する組み合わせは、アナログ + アナログとなります。現在は、アナログのレンズとデジタルの撮像素子が組み合わさったアナログ + デジタルが主流となっています。アナログ+アナログの記録からアナログ+デジタルの記録に変わることにより、画像の性能をどのように評価したら良いのでしょうか。

　

■　デジタル

　デジタル信号評価にはアナログ信号の評価とは違った評価法が取られます。デジタルは、アナログと違って性能限界が明確です。つまりデジタル機器による情報伝達は、デジタルサンプリングされた性能以上には情報を伝達することはできないのです。CCDカメラの場合、カメラの画素以上の解像力は得られません。もう少し詳しく言うと、画素の半分しか解像力がありません。これは、米国の科学者シャノンとナイキストが明らかにしたことです。

　ただし、計測する画像があらかじめわかっているときは、画像の形状から類推してサブピクセルまでの処理をすることがあります。たとえば、円形形状があらかじめわかっているとき、その中心位置を円形形状から重心位置を計算してサブピクセルまで計算で求めることがあります。これは、画像の持っているデータの本質的なものではないので、この項での説明は省いています。

　

■　アナログ

　アナログの場合、デジタルと違って細かい情報を見切ることはしません。細かいところまでそれなりに情報を伝達します。画像や音声などの細かな部分は、人の五感でいうと余韻に相当します。細かいところまで余韻を残したアナログ記録が、銀塩フィルムでありオーディオのレコード盤であると言えます。オーディオのアンプでは、現在でも真空管を用いたものが作られています。東京八王子にあるオーディオ・テクネ社という小さな会社は、真空管を使ったオーディオアンプを作っている会社ですが、このアンプは高い評価を（特にイタリアで）得ています。真空管アンプは真っ正直な増幅が可能です。トランジスタは真空管の増幅機能を真似たものですが、NFB（Negative Feed Back = 負帰還）による増幅が基本となっているために全帯域に渡って素直な増幅ができません。トランジスタアンプでは、後処理によって高音部や低音部にイコライザを用いて補正を加えなければなりません。真空管はリニアリティが優れていて、微小な音から大きな音まで素直に増幅します。原音を忠実に再生するのに真空管アンプほど優れるものは他にないのです。こうした理由から一部のオーディオ愛好家や音楽ホールでは、現在でもなお真空管アンプによる音響装置が作られ、そして使われています。アナログを突き詰めた事例だと思います。もっとも、小さい部屋や車の中で聴く音楽であればiPodで十分でしょうし、駄菓子のように音楽を頬張るのであれば高価で運用に大変な真空管アンプを使う必要は全くないでしょう。

　時計も、デジタル（水晶発振子によるカウント回路内蔵の時計）が主流である中、アナログ（テンプ=振り子とヒゲゼンマイを使った時計）もしっかりと根付いています。特にスイスの高級機には昔ながらのアナログ時計が高い人気を呼んでいます。30万円、50万円、100万円といったアナログ高級時計を宝物として購入するケースが、所得の低い若い世代にまで広がっているように見受けられます。1日に10秒も狂う高級時計と10日に1秒しか狂わない5,000円のデジタル時計（高級アナログ時計の100倍の精度）で、どうして精度の出ない高価な時計が売れるのでしょう。最近では、一生の間に1秒と狂わない電波時計も2万円くらいで購入できます。科学的に理解しがたい五感（人の心）の満足度がこうしたアナログ時計を希求する事例だと思います。日本の大手時計メーカは、1970年代後半に大々的にデジタル時計に切り替えてしまったのですが、未だ根強いアナログ時計の需要があることと、高級アナログ時計を作ることによってスイスに持って行かれてしまった高級ブランドイメージを呼び戻す目的から、再びそうした時計を作り始めました。計測の分野から見ればアナログ時計が復活する機会はありません。（モーター）スポーツの計時システムなどでは、ほとんどのケースでデジタル時計が使われています。ただ、宇宙飛行士は今でもアナログの手巻き式時計（スイスのオメガ社SpeedMasterは、アポロ計画で採用された宇宙飛行士用の時計）を使っているそうです。バッテリを使わず、シンプルで頑丈というのが採用されている理由だそうです。1日に10秒遅れても正確な計時は宇宙船の計時システムが担ってくれるため、非常用として人の側にいてアシストするという考えのようです。

　

いずれにせよ、私たちはアナログとデジタルの両者の特性を十分に理解しておく必要があります。

　

　以下、回りくどいかもしれませんが、アナログ記録とデジタル記録の違いについて触れておくことにします。

　

　▼　デジタルとは

　デジタルという概念を復習しておきましょう。

デジタルとは何でしょうか。

　デジタルと言う言葉が出てきた背景には、デジタルでない世界からデジタルの世界になった、という意識革命を促す意味合いが込められていました。デジタルの対語がアナログです。デジタルを一言で言うと「数値化」です。もっと突き詰めていうと「0」と「1」の二種類しかない記号表現の世界ということができます。（現実の生活では、「0」と「1」の二つだけの数値表記ではとても理解できないので、十進法の数値表記をさしてデジタルと言っています。）この「0」と「1」の数値表現を数学では二進法と言っています。数値化の世界では、今や二進法が全世界を席巻し全ての数値世界を支配しています。なぜならコンピュータに使われている算術手法が二進法であり、コンピュータ内部で行われている処理 が全てこの2進法であるからです。従って、デジタル画像ももとをたどっていくと二進法の数値記述となります。「0」と「1」だけの世界がかくも高い信頼を得て世界を支配するようになったのは興味あるところです。パソコン（いや、広い意味でIC技術を使ったデジタルプロセッサー）のおかげで、デジタルの世界がみるみる広がって行きました。

　

■　二進法（Binary Notation）

　二進法についておさらいをします。二進法というのは二つの数字だけの数的表記の世界です。2つの数字しか扱わないのです。十進法は10個の数字をもっていて、9という値に一つ値が加わると桁が上がって10となり、0〜9の九通りの記号で数を表して加減乗除を行っています。小学校で習う算術が、この10進法による加減乗除に他なりません。これに比べ二進法は、「0」と「1」の二つの数しかないために、「1」にもう一つ加えても「2」とする事ができず、桁が繰り上がって「10」となります。二進法では簡単に桁が上がっていきます。数値が2通りしか取れないので当然と言えば当然です。従って、「1001」という4桁の二進法の数値表記は、十進法に直すと一桁の「9」となります。「1111」は15に相当します。二進法では、それぞれの桁での表記が「1」と「0」しかないので、コンピュータのロジックでは、それぞれの桁に電流を流す、流さない、電位を持っている、持っていないというスイッチの「ON」、「OFF」に相当させて情報を処理させることができます。パソコンの記録媒体であるCD（コンパクトディスク）では、ディスクの記録面（ピットpit = 情報の小さい穴）にレーザ光を当てて、ピット面での光の反射の有無で「0」と「1」を表現しています。ハードディスクドライブでは、記録面の磁性体の状態、「N」と「S」の極性によってデータ記録しています。このように、二進法は「ある」と「ない」の二つの表現方法であると言ってもよいと思います。「ある」と「ない」のわかりの良い簡単な算術が、コンピュータの発達で世界を支配するようになりました。

　このようにコンピュータは、電気スイッチ（「ON」と「OFF」）のかたまりでできているといっても過言ではなく、電気を通したり止めたり、あるいはそれを保持して演算を実行し、その結果の数値を2進法として記憶したり表示部に回しています。コンピュータでは二進法で情報（数値）を入力することをビット（bit）を立てると言っています。たとえば、「1001」という数値は4つの桁のビットを立てているわけであり、これをある時間タイミング（クロック）で別の4桁のビットとの間で加減乗除を行っています。この4桁のビットでの演算処理を4ビット処理と言っています。（上図参照。）4ビット（2⁴ = 16）では、16通りの数値表現ができるので、十進法の10通りの数値を4ビットに当てて二進法による処理がなされてきました。3ビットだと8通りにしかならないので、十進法の数値を割り当てることができません。人間が理解しやすい10進数との狭間にあって、2進法は4ビットを一つの単位として扱われるようになりました。その後、アルファベットの文字や記号（+ - & %）などを当てはめる必要ができたので、4ビットの倍の8ビット（256通り）が入力の基本桁数となり、1バイト（byte）と呼ばれるようになりました。さらに、漢字や世界言語を当てはめる必要から2バイト（ = 16ビット、65,000通り）処理が主流になっていきました。

　

レンズを通してできた像を記録する時に、フィルムを使う場合と固体撮像素子（CCD、CMOS）では特性が変わります。

　両者の大きな違いは、フィルムがアナログ記録であるのに対し、固体撮像素子はデジタル記録であることです。個体撮像素子では、撮像面に画素と呼ばれる小さな光を蓄える部屋が作られていて、そこで画像が区切られます。部屋（画素）で情報が仕切られるということは、情報が細切れになることであり、デジタルサンプリング（標本化、量子化）されることを意味します。固体撮像素子では、画素数以上の情報を得ることは基本的には不可能です。（ただし、被写体の形状がわかっている場合、例えば円形のものを写す場合、複数の画素から円形の形状や中心位置をサブピクセル単位まで計算によって求めることは可能です。）

2/3インチCCD（8.8mm x 6.6mm）で、800x600画素を持つ撮像素子自体の解像力は、

　

　　　800画素/8.8mm x 1/2 （本/画素） x 1/2 （ナイキスト限界） = 22.7本/mm

　

となります。

　反面、銀塩フィルムのようなアナログ記録は画素という概念がなく、銀塩粒子の大きさが解像力の決定要因となります。また、アナログ画像は、デジタル画像のように量子化によってある解像力以上になると情報が突然に消えることはありません。アナログ記録では、細かい情報に対して突然に無くなることはなく徐々に無くなっていき、最後までかすかに情報を持っています。銀塩フィルム自体は、白黒フィルムでおよそ200本/mm程度の解像度があり、カラーフィルムで100本/mm程度の情報を持っています。アナログ記録媒体は、一般のCCD 撮像素子の100倍以上の情報を持ちえるのです。

　最近の光学書やCCDカメラの関連書籍を読んでいると、解像力の項目にナイキスト線図という言葉が出てきます。これは、古典的な光学分野では使われなかった言葉です。デジタルの世界で登場してきた言葉です。

　ナイキスト線図とはどのようなものなのでしょうか。それに、ナイキストというのはどんな人物なのでしょうか。

　ナイキスト（ハリー・ナイキスト、Harry Nyquist、1889.2.7 - 1976.4.4）は、スウェーデンのNilsby生まれの物理学者で、自動制御理論の研究で知られています。彼は、18才の時に米国に渡って帰化を果たし、ノースダコタ大学で電気工学を学び、エール大学（イェール大学、Yale University）で博士号を取得しました。大学卒業後、28才の年の1917年から1934年までの17年間、AT&T研究所（American Telephone and Telegraph Compnay）に勤め、電信画像と音声通信の研究に従事しています。その後、1934年から1954年までベル電話機研究所に移り通信技術の研究に従事しました。当時のベル研究所からは、きら星のごとく有名な研究者達が輩出されています。トランジスタを作ったショックレー（1947年）や、CCD素子を考案したW.S.ボイルとG.Eスミス（1970年）、レーザの研究で知られるタウンズ（Charles H. Townes：1915〜）、コンピュータの世界を席巻しているUNIXを構築したケン・トンプソンとデニス・リッチ（1968年）もベル電話機研究所の研究員でした。私のライフワークである高速度カメラも、このベル電話機研究所で産声を上げました。この時代、第二次世界大戦から東西冷戦時代にかけてのアメリカは、国を挙げて国防に取り組み、トランジスタの開発もレーザの開発もインターネット（通信分野）も活発な研究が進んで、ベル電話機研究所は特に優れた研究成果を出していきました。

　1927年、AT&T研究所で通信技術の研究をしていたナイキストは、アナログ信号をデジタルサンプリングする際に、これを再現するのに取り出したいアナログ信号周波数の2倍が必要であることを突き止めて発表しました。これが後に、ナイキスト - シャノンのサンプリング定理（標本化定理 = Sampling Theorem）と呼ばれるようになり、デジタル信号処理をする上で非常に大切なものとなりました。シャノン（Claude Elwood Shannon, 1916.04 - 2001.02、米国ミシガン州生まれ）は、情報理論に関する有名な数学者でコンピュータ技術の基礎を築き上げた人です。彼の数学的メスによってナイキストの発見の数学的裏付けがなされました。標本化定理とは、要するに、音声信号とか画像信号、温度データなどのアナログ信号をデジタル信号として取り込む際に、ほしいアナログ情報信号の2倍以上のサンプリングを持ったデジタル信号処理が必要である、という理論です。温度制御をおこなう温度管理で10Hzの確からしい温度データが欲しいとき、これをデジタルサンプリングする場合、最低0.05秒に一回（20Hz）でデータを取らないと正確な温度計測ができないことを意味します。また、例えば、100Hzで振動している物体を計測するには最低200Hzでサンプリングできる測定系が必要であることを示しています。2倍のサンプリングがあればなんとかデータが読み取れる、というのが標本化定理です。

　ここで一つの試みが行われます。CCＤに代表されるデジタル撮像素子は、撮像面が碁盤の目のように区切られていて、画素という単位でレンズによるアナログ像が標本化されます。固体撮像素子では、画素が画像情報の基本単位となってこれ以上の細かい情報は基本的には読み出すことができません。画素をナイキストのサンプリング定理に当てはめますと、像の情報は、カメラの画素の半分しか記録できないことになります。1,000mm x 1,000mmの対象物を、1,000画素 x 1,000画素でとらえると、情報は1mm四方ではなく、2mm四方（500 x 500サンプリング）の記録となります。下図に示したデジタルカメラで写した解像力チャートの画像は、上の説明をよく表しています。白と黒の画像は4ピクセル（2ピクセルx2）以上ないと十分にその情報を伝えることができません。2ピクセルがデジタル画像の最小検出単位になることをよく物語っています。

　方やレンズは、CCDカメラのように映像を升目に分けることはなく、アナログの光学要素と言えます。光ファイバーのような繊維で映像を情報伝達するものも、標本化するとして差し支えないでしょう。　

　

R₁、R₂、R_n：　解像力に関係する光学系要素個々の解像力（本/mm）