3の倍数は3個ごとに現れ、4の倍数は4個ごとに現れるので、12個ごとに同じ繰り返しとなります。
そこで、12個を1セットとして調べつくします。
1セットに○が4個(A=4)、△が3個(B=3)、×が6個(C=6)あります。
(1)
50÷12
=4・・・2
だから、Nが50のときのAは
4×4
=16
となり、Bは
3×4
=12
となり、Cは
6×4+2
=26
となります。
(2)
12÷6
=2
だから、Cがはじめて12となるのは、2セット目の11番目のときだから、Nが
12+11
=23
のときとなります。
また、13個目の×が出るのは、3セット目の1番目のときだから、Nが
12×2+1
=25
のときとなります。
したがって、求めるNは23と24となります。
(3)
NがCの2倍となる(図の☆)のは、1セットに5回あります。
250÷12
=20・・・10
だから、NがCの2倍となる(図の☆)ようなNは
5×20+4
=104個
あります。
(4)
1セットでのAとBの差は0か1(セットの終わりでは1)だから、AとBの差が15となるのは、15セット目の3番目、6番目、7番目、9番目、10番目、11番目、12番目、16セット目の1番目、2番目、4番目、5番目、8番目となります。 ←14セット目までで差が14を超えることはなく、17セット目以降で、差が16を下回ることはないですね。
したがって、Nは12個あり、最も小さい数は
12×14+3
=171
となり、最も大きい数は
12×15+8
=188
となります。
問題文の例のところに解法を書いてくれています。
(1)
(解法1)
問題文の例(2/3=1/2+1/6や13/20=1/2+3/20=1/2+1/7+1/140)で示されたように、含まれる分数のうち、分子が1の分数で最大のものを取り除いていくという方針で解きます。
13/18
=1/2+2/9 ←2/9は13/18-1/2を計算したものです。
=1/2+1/5+1/45 ←2/9=1/4.5だから、1/5がすぐに見つかりますね。1/45は、2/9-1/5を計算したものです。
となります。
(解法2)
問題文の例(13/20=(10+2+1)/20=1/2+1/10+1/20)で示されたように、分子を分母の約数(異なるもの)の和に分解するという方針で解きます。
13/18
=(9+3+1)/18
=9/18+3/18+1/18
=1/2+1/6+1/18
となります。
なお、上の2つの解答例以外にも答えは無限にあります。
(2)
(解法1)
問題文の例(2/3=1/2+1/6や13/20=1/2+3/20=1/2+1/7+1/140)で示されたように、含まれる分数のうち、分子が1の分数で最大のものを取り除いていくという方針で解きます。
5/13
=1/3+2/39 ←5/13=1/2.6だから、1/3がすぐに見つかりますね。2/39は、5/13-1/3を計算したものです。
=1/3+1/20+1/780 ←2/39=1/19.5だから、1/20がすぐに見つかりますね。1/780は、2/39-1/20を計算したものです。
となります。
(解法2)
問題文の例(13/20=(10+2+1)/20=1/2+1/10+1/20)で示されたように、分子を分母の約数(異なるもの)の和に分解するという方針で解きます。
5/13ではうまくいかないので、分母・分子を何倍かしたものを考えます。
分子に13が含まれるようなものにしたいので、分母・分子を4倍して考えます。 ←分母・分子を3倍した15/39は、15=13+2となるので、うまくいかないですね。
5/13
=20/52
=(13+4+2+1)/52
=13/52+4/52+2/52+1/52
=1/4+1/13+1/26+1/52
なお、上の2つの解答例以外にも答えは無限にあります。
(1)
できる正方形の1辺の長さは、(8.4=)42/5の倍数で、(15.6=)78/5の倍数となるから、1番小さい正方形の1辺の長さは42/5と78/5の最小公倍数となります。
したがって、求める長さは
13×6×7/5 ←小数(分数)の最小公倍数は、まず、分数になおした後通分し、分子の最小公倍数を考えます。その後、分母を付け加えるだけです。小数(分数)の最大公約数についても同様に考えることができます。
=546/5cm
となります。
(2)
最小の正方形の場合、縦に13枚、横に7枚並べることになります。 ←最小の正方形の1辺の長さ=42/5×13=78/5×7となることからわかりますね。
小さいほうから6番目の正方形の1辺の長さは、1番小さい正方形の1辺の長さの6倍となるから、タイルの枚数も縦、横それぞれ6倍となるので、求めるタイルの枚数は
13×6×7×6
=91×6×6
=546×6 ←(1)の計算を利用しました。
=3276枚
となります。
まず、美術館の入場料に関する条件について考えます。
美術館の通常の入場料を[10]とします。 ←900円という数字を使っても解けますが、ここでは使わずに解いてみましょう。
美術館の入場料の割引料金は
[10]×(1-3/10) ←式を作るまでもないですが・・・
=[7]
となります。
50人の団体の料金(割引料金)は
[7]×50
=[350]
となります。
これは、美術館の通常の入場料([10])の
[350] /[10]
=35人分
となるので、
35+1
=36人
以上の団体の場合、50人の団体として入場する方が安くなります。
次に、食堂に関する条件について考えます。
食堂に支払った料金が全員で22575円だから、クラスの人数は22575の約数になります。 ←1人あたりの料金×人数=22575だからです。
結局、36以上49以下(50未満)の22575の約数がクラスの人数になりますね。
5×5)22575 ←225、75はともに25(5×5)の倍数ですね。
3) 903 225÷25は、100=25×4を意識しながら暗算で処理します。
7) 301 ←条件を満たす約数がまだないので、まだ割れるはずです。
43
22575=3×5×5×7×43
だから、22575の約数で36以上49以下のものは43だけになります。 ←実際に約数を書き出してみればわかりますが、問題の形式から答えが1つと考えられることと、43が36以上49以下の22575の約数であることから、43以外に約数がなさそうだと予想できますね。
したがって、クラスの人数は43人となります。
なお、前半部分は、次のように、不等式を作って処理してもよいでしょう。
[10]×(求める人数)>[7]×50
(求める人数)>[7]×50/[10]=35(以下略)
(1)
3けたの整数をすべて書き出すと、
189
198
819
891
918
981
となります。 ←小さい順または大きい順に書き出しましょう。
各位の数の平均は
(8+1+9)/3
=6
だから、求める平均は666となります。
6個の数の和を求めて、個数の6で割って求めることもできますが、少し面倒ですね。
(2)
各位の数の平均は
(2+6+3+7)/4
=9/2
だから、求める平均は
9/2×100+9/2×10+9/2
=9/2×111 ←最初からこの式を作ってもいいでしょう。
=999/2(=499.5)
となります。
(3)
(2)の逆算の問題ですね。
721.5÷111
=1443/222
=13/2
=26/4 ←4枚のカードの平均なので、分母を4にしました。
だから、4枚のカードの和は26となり、(ア)と(イ)の和は
26-(7+4)
=15
となります。
2枚の和が15となるカードを書き出します。
9+6 ←15は上限(9+8)に近いので、大きいほうから書き出します。
8+7× ←7は使用済みなので使えませんね。
したがって、答えは6と9になります。
問題文を図で表すと、次のようになります。
前半の条件に注目すると、
50cmのタイル・・・横に600÷50=12枚、縦に□枚
30cmのタイル・・・横に600÷30=20枚、縦に○枚
12×□+20×○=228
3×□+5×○=57 ←上の式を1/4倍しました。
となります。
後半の条件に注目すると、
40cmのタイル・・・横に600÷40=15枚、縦に△枚
30cmのタイル・・・横に600÷30=20枚、縦に☆枚
15×△+20×☆=220
3×△+4×☆=44・・・① ←上の式を1/5倍しました。
となります。
縦の長さは一定なので、
50×□+30×○=40×△+30×☆
5×□+3×○=4×△+3×☆ ←上の式を1/10倍しました。
となります。
まず、3×□+5×○=57の式について考えます。
一の位に注目します。
57の一の位が7で、5×○の一の位が0か5だから、3×□の一の位は、7か2となります。 □の一の位が4か9のときのみ条件を満たすことはすぐにわかりますね。
あとは丁寧に調べるだけです。
3×□+5×○=57
4 9
↓+5 ↓-3
9 6
↓+5 ↓-3
14 3
↓+5 ↓-3
19 0×
□=4、○=9のとき
4×△+3×☆=5×4+3×9=47・・・②
①と②の和を考えます。
7×△+7×☆=44+47=91
3×△+3×☆=91×3/7=39 ←上の式を3/7倍しました。
これと、①の差を考えると、☆=5となります。
このとき、△は
(39-3×5)÷3
=8
となり、縦の長さは
40×8+30×5
=470cm
=4.7m
となります。
厳密には以下の2つの場合も調べる必要がありますが、問題の形式から答えは1つと考えられるので、時間がなければ、省略してもよいでしょう。
□=9、○=6のとき
4×△+3×☆=5×9+3×6=63・・・③
①と③の和を考えます。
7×△+7×☆=44+63=107
7の倍数 7で割り切れない数
だから、この場合はありえませんね。
□=14、○=3のとき
4×△+3×☆=5×14+3×3=79・・・③
①と③の和を考えます。
7×△+7×☆=44+79=123
7の倍数 7で割り切れない数
だから、この場合もありえませんね。
1皿273円、189円(126円)のおすしをそれぞれ□皿、△皿食べたとします。
273×□+189×△+126×△=5481
273×□+315×△=5481 ←分配法則の逆を利用しました。189円のお皿と126円のお皿がセットになっていると考えて、この式を作ってもいいでしょう。
91×□+105×△=1827 ←上の式を3で割りました(値段が1/3になったと考えればわかりやすいですね)。
文章題で条件が不足していると感じたときに整数条件を使う問題です。
273と315を見れば、3で割り切れることはすぐにわかりますね。
13×□+15×△=261 ←上の式を7で割りました(値段が1/7になったと考えればわかりやすいですね)。91=7×13は覚えておきましょう。105や1827が7か13で割り切れるのではないかという発想が大切です。
ここで一の位をチェックします。
261の一の位が1で、15×△(5の倍数ですね)の一の位が0か5なので、13×□の一の位は1か6となり、□の一の位は、2か7となります。
さらに、上限をチェックします。
261÷13
=20.・・・
となります。
結局、□=17、12、7、2だけ調べればいいですね。
□=17のとき
△
=(261-13×17)÷15
=40÷15× ←割り切れませんね。
□=12のとき
△
=(261-13×12)÷15
=105÷15 ←40+13×5=105として、この式をいきなり作ってもいいでしょう。
=7
□=7のとき
△
=(261-13×7)÷15
=170÷15× ←105+13×5=170として、この式をいきなり作ってもいいでしょう。
□=7のとき
△
=(261-13×2)÷15
=235÷15×
したがって、1皿273円、189円、126円のおすしは、それぞれ12皿、7皿、7皿食べたことになります。
①より
E<D・・・(*) ←分子が同じなので、分数が小さくなるのは、分母が大きいときですね(分母が大きいほうが分子を細かく分けることになり、分数は小さくなりますね)。
(*)と②より
A<C・・・(☆) ←分子を細かく分けたほう(分母が大きいほう)が大きくなるのは、分子が大きいときしか考えられませんね。
(*)と③より
C<B・・・(★) ←E<Dなのに、E+B>D+C(EとDのそれぞれに何かを加えると大小が逆転)となるためには、小さいほうに加えた数(B)が大きいほうに加えた数(C)より大きくなる必要がありますね。
(1)
(☆)と(★)より
A<C<B・・・(○)
となります。
したがって、答えはA、C、Bとなります。
(2)
④の分子を比べると、A<Bだから、
B+C>A+C
となります。
にもかかわらず、(B+C)/(A+E)<(A+C)/(D+E)となるから、
A+E>D+E ←分子が大きい方が、何かで割ったときに小さくなるためには、より細かく分ける(分母が大きくなる)必要がありますね。
つまり
A>D・・・(●)
となります。
(●)、(○)、(*)より、
E<D<A<C<B
となります。
したがって、答えはE、D、A、C、Bとなります。
Aを□で割ると、(□-1)余ることから、A+1は□で割り切れることがわかります。 ←何とか割り切れるようにならないかと考えることが大切です。
(1)
A+1は、8でも10でも割り切れる数、つまり、40(8と10の最小公倍数)の倍数となります。
もっとも小さい数を考えるのだから、Aは
40-1
=39
となります。
因(ちな)みに、2番目に小さいAは、40×2-1=79となります。39×2=78としてしまうミスが結構見られるので、注意しましょう。
(2)
A+1は、2でも3でも4でも5でも6でも7でも8でも9でも10でも割り切れる数、つまり、2、3、4、5、6、7、8、9、10の最小公倍数の倍数となります。
2、3は6に含まれ、4は8に含まれ、5は10に含まれるので、2、3、4、5、6、7、8、9、10の最小公倍数と6、7、8、9、10の最小公倍数は一致します。
さらに、6(2×3)は、8×9に含まれ、10(2×5)のうち、2は8に含まれることから、結局、7、8、9、5の最小公倍数を考えればいいことになります。
7、8、9、5は互いに素(1以外に公約数を持たない)なので、7、8、9、5の最小公倍数は
7×8×9×5
=7×9×40 ←偶数の8と5を先に計算します。~「5と2は仲良し」
=63×40
=2520
となります。
したがって、最も小さいAは
2520-1
=2519
となります。
なお、2、3、4、5、6、7、8、9、10の最小公倍数を地道に求めると、次のようになります。
2)2 3 4 5 6 7 8 9 10
2)1 3 2 5 3 7 4 9 5
3)1 3 1 5 3 7 2 9 5
5)1 1 1 5 1 7 2 3 5
1 1 1 1 1 7 2 3 1
2×2×3×5×1×1×1×1×1×7×2×3×1
=2520
(1)
まず、1番目から3番目の条件に注目します。
弟だけいる人の人数を□人、弟も妹もいる人の人数を○人とします。
□+○=30
□=9の倍数
○=4の倍数
○も30も2の倍数だから、□も2の倍数となり、結局、□は18(2と9の最小公倍数)の倍数となります。 ←整数条件(倍数条件)を利用する
30以下の18の倍数は18しかないので、□=18と確定します。
したがって、弟だけいる人の人数は18人となります。
(2)
妹のいる人の人数を△人、弟も妹もいない人の人数を☆人とします。
18+△+☆=100→△+☆=100-18=82
△=12以上の7の倍数 ←(1)の結果から、30-18=12以上となりますね。
☆=一の位が6の数
となるから、一の位チェックを行うと、△の一の位は6となります。
結局、△は、12以上の7の倍数で、しかも、10で割ると6余る数となります。
あとは、書き出していけばいいでしょう。 ←△+4+10が7でも10でも割り切れることに気づけば、書き出さずに済みます。
10で割ると6余る数は偶数だから、12以上の7の倍数(偶数だけ)を書き出します。
14(7×2)、28(7×4)、42(7×6)、56(7×8)、・・・
だから、12以上の7の倍数で、10で割ると6余る数の最小のものは、56で、以後、70(7と10の最小公倍数)毎に登場するので、100以下のものは56だけとなります。
したがって、△は56となり、妹のいる人の人数は56人となります。