２地点間を何度も往復する問題なので、進行グラフをかいて整理します。
　ＡがＰＱ間（片道）の距離を進む時間＝４２００÷７００＝６分
　ＢがＰＱ間（片道）の距離を進む時間＝４２００÷３００＝１４分
まず、６分毎に４２分（（★）を参照）まで目盛りを取って、Ａのグラフをかきます。
次に、１４分毎に４２分まで目盛りを取って、Ｂのグラフをかきます。
最後に、出会い（同じ位置にくる直前が反対方向ですね）を○、追いつき（同じ位置にくる直前が同一方向ですね）を×というようにしるしをつけます。

（★）４２というのは、６と１４の最小公倍数になります。
Ａは６×２＝１２分間でＰＱ間を１往復し、ＢはＰＱ間を１４×２＝２８分間で１往復するので、Ａ、Ｂは８４（１２と２８の最小公倍数）分間でスタート時と同じ状況になります。
したがって、グラフは８４分を１周期（ひとかたまり）として、同じことの繰り返しとなります。
ところで、４２分の地点では、Ａはスタート地点Ｐとは逆のＱにいて、Ｂはスタート地点Ｑとは逆のＰにいますね。
いま、４２分までのグラフを逆から見る（右から左に見る）と、ＡはＱからスタートして、４２分間でＰに到着し、ＢはＰからスタートし、４２分間でＱに到着していますね。
これは、まさに４２分～８４分の状況と同じですね。
結局、４２分～８４分までのグラフと０分～４２分までのグラフは４２分の縦線（図の点線）で線対称になるので、０分～４２分までのグラフをしっかりかけばよいことになります。　対称性を利用して作業を減らす！

なお、０～４２分のＡのグラフは点対称図形で、Ｂのグラフも点対称図形ですから、２１分のところまでの出会い、追いつきの回数を数えれば足りますね。　対称性を利用して作業を減らす！

さて、問題を解く準備が整いました。
（解法１）出会いから出会い（追いつきから追いつき）までの距離（時間）が等しい（本問の場合４２００×２ｍ）ことを利用して解きます。
（１）出発して、２回目に、Ａ、Ｂが同じ地点にくるのは、１回目の追いつきだから、
　４２００÷（７００－３００）＝１０．５分
となります。　　　　　　追いつきの速さ＝速さの差
（２）出発して、５回目に、Ａ、Ｂが同じ地点にくるのは、４回目の出会いだから、
　４２００×（１＋２×３）÷（７００＋３００）＝２９．４分
となります。　　　　　　出会いの速さ＝速さの和
なお、１回目の出会いまでの距離はＰＱ片道分、１回目の出会いから２回目の出会いまでの距離はＰＱ往復分、２回目の出会いから３回目の出会いまでの距離はＰＱ往復分、３回目の出会いから４回目の出会いまでの距離はＰＱ往復分だから、４回目の出会いまでの距離は４２００×（１＋２×３）となります。
（３）進行グラフから、８４分間（１周期）にＡ、Ｂが同じ地点にくるのは、７×２＝１４回（出会い５×２＝１０回、追いつき２×２＝４回）だとわかります。
１００＝１４×７＋２（１００÷１４＝７・・・余り２）だから、１００回目にＡ、Ｂが同じ地点にくるのは、８周期目の１回目の追いつきだから、求める時間は、
　８４×７＋１０．５＝５９８．５分
となります。
なお、４×７＋１＝２９回目の追いつきと考えて、
４２００×（１＋２×２８）÷（７００－３００）＝５９８．５分
としてもいいでしょう。
（解法２）グラフを図形に見立てて解きます。
（１）

（２）

（３）は（解法１）と同じです。

通過算の問題は、通過するまでに進まなければならない距離に特徴があるのでしたね。
　動くもの自身の長さ＋通過するもの（対象）の長さ
　　　　　　　　　鉄橋、トンネル、駅のプラットホーム、すれ違う（追い越される）列車など
長さを考えないもの（人、電柱など）の前を通過するとき、通過するものの長さは０（なし）と考えます。

（解法１）電車の速さ（本問では、求まりますね）を求めてから、電車の長さを求める解法
Ａ君の前を、快速電車が通過するのに７．５秒かかったことから、上側の線分図がかけます。
電車がプラットホームにさしかかってから、通過してしまうまで１２．５秒かかったことから、下側の線分図がかけます。

線分図を見比べてみる（差を考える）と、プラットホームの長さ（１６０ｍ）を１２．５－７．５（秒）で通過したことがわかるので、電車の速さが求まりますね。　　←距離と時間がわかっているので、速さが求まりますね。
さらに、上側の線分図に注目すると、快速電車の長さが求まりますね。　　←速さと時間がわかっているので、距離が求まりますね。
　１６０÷（１２．５－７．５）×７．５＝２４０ｍ
　　　　電車の速さ

（解法２）比を利用した解法
　時間の比　（Ａ君の前を通過）：（プラットホームを通過）
　　　　　　＝７．５秒：１２．５秒
　　　　　　＝３：５
　　↑ 　　　　　　　　 速さ一定のとき　時間の比＝距離の比
　 一致　←（快速電車の）速さ一定
　　↓
　距離の比　（電車の長さ）：（電車の長さ＋プラットホームの長さ）
　　　　　　＝③：⑤
⑤－③＝②がプラットホームの長さ（１６０ｍ）に相当するから、快速電車の長さ（③）は、
　１６０×③/②＝２４０ｍ
となります。

（典型的な流水算の問題のポイント）
流水算というのは、自分自身の速さが他の速さに影響される（速くなったり、遅くなったりする）場合の時間、距離、速さを求める問題です。
流水算の問題は、速さに特徴があります。
典型的な流水算の問題は、あるものが正反対の方向に進み、双方向とも他の速さの影響を受ける（ただし、進む方向が逆になると、逆の影響（影響の大きさ自体は同じ）を受ける）問題です。
典型的な流水算の問題は、和差算（もしくは、平均）を利用して解きます。
　船の上りの速さ＝船の静水時の速さ－川の流速
　船の下りの速さ＝船の静水時の速さ＋川の流速

大＝（和＋差）÷２、小＝（和－差）÷２になるのでしたね。結局、
　静水時の速さ＝（船の下りの速さ＋船の上りの速さ）÷２
　川の流速＝（船の下りの速さ－船の上りの速さ）÷２
となります。
なお、次のように考えてもいいでしょう。
船の上りの速さ、船の静水時の速さ、船の下りの速さを数直線（線分図）上に書き込むと、等間隔（川の流速の大きさ）で、並んでいることがわかりますね。

すると、船の静水時の速さ（平均になりますね）＝（船の下りの速さ＋船の上りの速さ）/２となることはすぐにわかりますね（船の下りの速さ＝船の上りの速さ＋川の流速×２となることなどもすぐにわかりますね）。
実際には、船の静水時の速さが船の上りの速さと船の下りの速さの真ん中にあることを利用するのがわかりやすいでしょう。

（１）
★速さの比を求める手法★
・速さの比が、同一時間に進む距離の比と一致することを利用
・速さの比が、同一距離を進むのに必要な時間の比の逆比となることを利用
・時間の比、距離の比の２つが決まれば速さの比が決まることを利用

では、問題を解いてみましょう。

（川が増水した日）
　時間の比　　上り：下り＝７２分：４０分＝９：５
　　↓逆比　←距離一定（ＡＢ間（片道）の距離）
　速さの比　　上り：下り＝５：９

川が増水した日の上りの速さを⑤、下りの速さを⑨とします。　←「和差算の÷２」と「普通の日の２倍の÷２」を考慮して、差が２×２＝４の倍数となるようにおきました（本問では、何も考えなくても大丈夫ですが）。

増水した日の川の流速は
　（⑨－⑤）÷２＝②
普通の日の川の流速は
　②÷２＝①
静水での船の速さは
　⑨－②＝⑦
よって、
　普通の日の川の流速：静水での船の速さ＝①：⑦

なお、静水での船の速さを（⑤＋⑨）÷２＝⑦と求めた後で、増水した日の川の流速を⑨－⑦＝②と求め、普通の日の流速を②÷２＝①と求めてもいいでしょう。

（２）
（１）の誘導を利用すれば、簡単ですね。

　速さの比　　普通の日（下り）：増水した日（下り）＝（⑦＋①）：⑨＝⑧：⑨
　　↓逆比　←距離一定（ＡＢ間（片道）の距離）
　時間の比　　普通の日（下り）：増水した日（下り）＝[９]：[８]

[８]が４０分に相当するから、普通の日（下り）の速さ（[９]）は
　４０×[９]/[８]＝４５分

問題文にぐちゃぐちゃ書いてありますが、結局は、単なる旅人算（出会い）になります。
問題文の整理のため、進行グラフ（ダイアグラム）を描いてみましょう。

よし子さんが忘れ物に気づいたのは、Ａ町から
　　４８×１５（ｍ）　・・・①
の地点です。
この距離を分速１００ｍで戻るのに
　　７２０/１００＝７．２分　・・・②
かかります。
この間に、みち子さん（分速４０ｍ）は
　　４０×７．２ｍ　・・・③
進んでいるので、よし子さん（分速６０ｍ）とみち子さん（分速４０ｍ）の隔（へだ）たり（追いかける距離）は
　　４８×１５＋４０×７．２（ｍ）　　←①＋③
となります。よって、よし子さんがみち子さんに追いつくのに必要な時間は、
　　（４８×１５＋４０×７．２）/（６０－４０）　　旅人算（追いつき）→追いつきの速さ＝速さの差
　＝４８×１５/２０＋４０×７．２/２０
　＝３６＋１４．４　うまく約分できましたね。
　＝５０．４分　・・・④
となるので、追いつくまでによし子さんが（スタート地点のＡ町から）進んだ距離は
　　６０×５０．４＝３０２４ｍ　・・・⑤
となります。これは、Ｂ町から
　　３２００－３０２４＝１７６ｍ　・・・⑥（答）
手前の地点になります。

（典型的な流水算の問題のポイント）
流水算というのは、自分自身の速さが他の速さに影響される（速くなったり、遅くなったりする）場合の時間、距離、速さを求める問題です。
流水算の問題は、速さに特徴があります。
典型的な流水算の問題は、あるものが正反対の方向に進み、双方向とも他の速さの影響を受ける（ただし、進む方向が逆になると、逆の影響（影響の大きさ自体は同じ）を受ける）問題です。
典型的な流水算の問題は、和差算（もしくは、平均）を利用して解きます。
　船の上りの速さ＝船の静水時の速さ－川の流速
　船の下りの速さ＝船の静水時の速さ＋川の流速

大＝（和＋差）÷２、小＝（和－差）÷２になるのでしたね。結局、
　静水時の速さ＝（船の下りの速さ＋船の上りの速さ）÷２
　川の流速＝（船の下りの速さ－船の上りの速さ）÷２
となります。
なお、次のように考えてもいいでしょう。
船の上りの速さ、船の静水時の速さ、船の下りの速さを数直線（線分図）上に書き込むと、等間隔（川の流速の大きさ）で、並んでいることがわかりますね。

すると、船の静水時の速さ（平均になりますね）＝（船の下りの速さ＋船の上りの速さ）/２となることはすぐにわかりますね（船の下りの速さ＝船の上りの速さ＋川の流速×２となることなどもすぐにわかりますね）。
実際には、船の静水時の速さが船の上りの速さと船の下りの速さの真ん中にあることを利用するのがわかりやすいでしょう。

たかしくんとお父さんの二人が出てきて混乱しそうなので、たかしくんとお父さんの条件を分けて考えます。
　　たかしくんの条件
　　　　　下り　３０分
　　　　　上り　４０分
　　お父さんの条件
　　　　　上り　２０分
　　　　　下り　？分

（方針その１）
時間の条件はたくさんありますが、距離がわからないので、速さが出せません。
そこで、距離を仮定して解きます。
距離を[１２０]ｍとします。　←距離を[１]とおくと計算が面倒なので、３０と４０と２０のＬＣＭ（最小公倍数）を利用します。
　　たかしくんの下りの速さ＝[１２０]/３０＝[４]（ｍ/分）
　　たかしくんの上りの速さ＝[１２０]/４０＝[３]（ｍ/分）
　　　　本当は、流速が整数となるように[２４０]とおくのがベストだった！！
　　たかしくんの静水での速さ＝（[４]＋[３]）/２＝[７/２]（ｍ/分）
　　流速＝（[４]－[３]）/２＝[１/２]（ｍ/分）
　　お父さんの上りの速さ＝[１２０]/２０＝[６]（ｍ/分）
　　お父さんの静水での速さ＝（[６]＋[１/２]）＝[１３/２]（ｍ/分）
（１）
お父さんの静水での速さはたかしくんの静水での速さの
　　[１３/２]÷[７/２]
　＝１３/７（１と６/７）倍
となります。
（２）
　　お父さんの下りの速さ＝（[１３/２]＋[１/２]）＝[７]（ｍ/分）
だから、求める時間は
　　[１２０]/[７]
　＝１２０/７（１７と１/７）分
となります。

（方針その２）
比をフルに活用して解きます。
（１）静水時の速さが問題になっているので、上りと下りの両方の条件のあるたかしくんにまず注目します。
与えられた時間の条件を速さの条件に近づけることを考えます。
　　時間の比（たかし）
　　　　上：下＝４０分：３０分＝４：３
　　　↓逆比（距離一定）　　距離一定　⇒　速さの比＝時間の比の逆比　～時間と速さは反比例
　　速さの比（たかし）
　　　　上：下＝３：４
　　　　　　　＝⑥：⑧　←たかしくんの静水時の速さと流速を整数にするため！
　　たかしくんの静水時の速さ＝（⑥＋⑧）÷２＝⑦
　　流速＝⑧－⑦＝①
次に、お父さんの速さとたかしくんの速さを比べます。
　　時間の比
　　　　お父さん（上）：たかしくん（上）＝２０分：４０分＝１：２
　　　↓逆比（距離一定）
　　速さの比
　　　　お父さん（上）：たかしくん（上）＝２：１
たかしくん（上）の速さが⑥だから、お父さん（上）の速さは⑥×２/１＝⑫で、お父さん（静水時）の速さ＝⑫＋①＝⑬となるので、お父さんの静水での速さはたかしくんの静水での速さの
　　⑬/⑦＝１３/７（１と６/７）倍
となります。
（２）
　　お父さん（下）の速さ＝⑬＋①＝⑭
今度は、速さの比の条件の時間の条件に近づけることを考えます。
　速さの比
　　　お父さん（下）：たかしくん（下）＝⑭：⑧＝７：４
　　↓逆比（距離一定）
　時間の比
　　　お父さん（下）：たかしくん（下）＝４：７
たかしくん（下）の時間は３０分だから、お父さん（下）の時間は
　　３０×４/７＝１２０/７分（１７と１/７）
となります。