逆から見る（赤色の矢印）と、Ｔの個数は、１秒前のＢの個数と一致し、Ｂの個数は、１秒前のＴの個数の２倍とＢの個数の和になっていることがわかります（式で表すと、（ある時間のＢの個数）＝（１秒前のＴの個数）、（ある時間のＴの個数）＝（１秒前のＴの個数）×２＋（１秒前のＢの個数）となります）。
あとは、表を完成させればおしまいですね。

答えは、１７１になります。

（解法１）道の選び方の問題には、次のような有名な問題があります。
（問題）次の図で、点Ｐから点Ｑまで遠回りしないで行く方法は、全部で何通りありますか。

この問題に対しては、下図のように、角の点までの行き方を書き込む解法があります。

ある角までの行き方は、その手前の角までの行き方の和なっています。
この方法を、本問に応用します。
ただし、本問題の場合、同じ地点を何度も通るために数字で混乱する可能性がありますので、各秒ごとに数字にしるしをつけていきます。

上の図より、（１）６通り（２）２１通り（３）６０通りとわかります。

（解法２）
Ｂ、Ｃ、Ｄは条件的に同じだから、Ｂ＝Ｃ＝Ｄとなります。

逆から見る（ピンク色の矢印）と、Ａ＝（１秒前のＢ）＋（１秒前のＣ）＋（１秒前のＤ）＝（１秒前のＢ）×３となります。
また、Ｂ＝（１秒前のＡ）＋（１秒前のＣ）＋（１秒前のＤ）＝（１秒前のＡ）＋（１秒前のＢ）×２となります。
あとは、表を完成させればおしまいですね。

（解法３）

（練習問題）２つの細胞（さいぼう）ＡとＢがあって、Ａは、１秒ごとに１回変形し、Ｂ１個になり、Ｂは、１秒ごとに１回分裂し、Ａ３個とＢ２個になることがわかっている。最初、Ａ１個からスタートするとして、７秒後にＡは□個となる。

（解答）

逆から見る（ピンク色の矢印）と、（ある時間のＡの個数）＝（１秒前のＢの個数）×３となります。
また、（ある時間のＢの個数）＝（１秒前のＡの個数）＋（１秒前のＢの個数）×２となります。
あとは、表を完成させればおしまいですね。（解法２）の図を参照してください。
答えは、５４６になります。

（１）３数の和の最小値は、１＋２＋３＝６（＜１０）であり、最大値は、１０＋９＋８＝２７（＜３０）であるから、３数の和が１０の倍数となるのは、次の（ア）、（イ）の場合が考えられます。
（ア）３数の和が１０の場合　　１０は最小値の６に近いから、小さいほうから樹形図をかきます。

　　４通り
（イ）３数の和が２０の場合　　２０は最大値の２７に近いから、大きいほうから樹形図をかきます。

　　７＋６＋５＝１８＜２０だから、一番大きい数は８以上だとわかりますね。
　　８通り
以上、（ア）、（イ）より、求める場合の数は
　４＋８＝１２通り　←（ア）、（イ）は同時に起こらないので、和の法則で求まりますね。

（２）１０個の玉の中から７個の玉を同時に取り出すというのは、取り出さない３個の玉を「取り出す」ことに他なりませんね。この問題は、ここがポイントです。　　裏を考える！
７数の和が最大となるのは、取り出さない３数の和が最小となるときだから、７数の和の最大値は、
　５５－（１＋２＋３）＝４９（＜６０（１５×４））
　１から１０までの和です。よく出てきますね。（★）を参照しましょう。
となります。
７数の和が最小となるのは、取り出さない３数の和が最大となるときだから、７数の和の最小値は、
　５５－（１０＋９＋８）＝２８（＜３０（１５×２））
　１から１０までの和です。
となります。
したがって、７数の和が１５の倍数となるのは、次の（Ａ）、（Ｂ）の場合が考えられます。
（Ａ）７数の和が３０の場合、すなわち、３数の和が５５－３０＝２５の場合
　　２５は最大値の２７に近いから、大きいほうから樹形図をかきます。

　　９＋８＋７＝２４＜２５だから、一番大きい数は１０以上だとわかりますね。
　　２通り
（Ｂ）７数の和が４５の場合、すなわち、３数の和が５５－４５＝１０の場合
これは（１）の（ア）の場合に他なりませんね。
　　４通り
以上、（Ａ）、（Ｂ）より、求める場合の数は
　２＋４＝６通り　←（Ａ）、（Ｂ）は同時に起こらないので、和の法則で求まりますね。

（★）等差数列の和を求める手法をついでに確認しておきましょう。
　　Ｓ＝　１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０
＋）Ｓ＝１０＋９＋８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１
　Ｓ×２＝（１＋１０）×１０
　Ｓ＝（１＋１０）×１０/２＝５５
イメージ図
　○○○○○○○○○○●
　○○○○○○○○○●●
　○○○○○○○○●●●
　○○○○○○○●●●●
　○○○○○○●●●●●
　○○○○○●●●●●●
　○○○○●●●●●●●
　○○○●●●●●●●●
　○○●●●●●●●●●
　○●●●●●●●●●●

小さい箱に入れる４個が決まれば、大きい箱に入れる６個は自動的に決まるので、小さい箱に入れる４個について考えます。　←大きい箱に入れる６個について考えてもいいですが、玉の数が多いから少し面倒ですね。
以下、赤玉をＲ、白玉をＷ、青玉をＢと表記します。
もれなくダブりなく数えるために、Ｒの個数で場合分けをして考えます。　←Ｒの個数で場合分けするのは、次の理由からです。Ｂは５個あるので、Ｒ、Ｗの個数にかかわらず、Ｂで小さい箱（４個入れる）を埋め尽くすことができるので、条件的に厳しくないですね（残りの個数にするのに最適ですね）。また、Ｗの個数は、Ｒの個数より１個多いので、Ｒより条件的に厳しくないですね（それに、Ｗの個数で場合分けすると、場合分けが１つ多くなり、少し面倒です）。
（ア）Ｒ２個の場合　　Ｂの個数は、自動的に決まるので省略しています。
　　　　　　　　　　　Ｗ２個
　　　　　　　　　　　Ｗ１個
　　　　　　　　　　　Ｗ０個
　　３通り
（イ）Ｒ１個の場合
　　　　　　　　　　　Ｗ３個
　　　　　　　　　　　Ｗ２個
　　　　　　　　　　　Ｗ１個
　　　　　　　　　　　Ｗ０個
　　４通り
（ウ）Ｒ０個の場合
　　　　　　　　　　　Ｗ３個
　　　　　　　　　　　Ｗ２個
　　　　　　　　　　　Ｗ１個
　　　　　　　　　　　Ｗ０個
　　４通り
以上、（ア）、（イ）、（ウ）より、求める場合の数は
　３＋４＋４＝１１通り　←（ア）、（イ）、（ウ）は同時に起こらないので、和の法則で求まりますね。

（別解）樹形図の利用（結局、場合分けと同じことですが・・・）
条件の厳しいＲ、Ｗ、Ｂの順に樹形図をかいていきます。　樹形図は条件の厳しいところから！

規則性の問題では、次のように考えるといいでしょう。

　　小さな例を作り実験 ⇒ 観察 ⇒ 規則性の把握（はあく） ⇒ 一般化

上図のグリーンの丸囲みのようにうまく対応させましょう！
各組は連続３整数で構成されているから、（各組を構成する）整数は、３×１００＝３００個あり、これが１００番目を構成する最後の数になっています。したがって、１００番目の数は２９８２９９３００となります。　←３００から１ずつさかのぼって２９９、２９８を出します。

（２）
　１～３００までの１桁の整数は、１～９の９個
　１～３００までの２桁の整数は、１０～９９の９９－９＝９０個
　１～３００までの３桁の整数は、１００～３００の３００－９９＝２０１個
９、９０、２０１とも３で割り切れるので、本問の数列は、３桁の場合、６桁の場合、９桁の場合しかありません（因（ちな）みに、３桁の場合は、９÷３＝３個、６桁の場合は、９０÷３＝３０個、９桁の場合は、２０１÷３＝６７個となります）。
そこで、場合分けをして考えます。
（ア）３桁の場合
明らかに０個ですね（問題文のところの数列を見ればわかりますね）。
（イ）６桁の場合
　□□□ 　（□は２桁の整数、各□は異なる数です）
　　　１０台の整数（３の倍数）
１０台の数字は１０～１９の１９－９＝１０個あるから、十の位の数が１である数の個数は、３個もしくは４個（先頭（１０台の最初の整数）が、３の倍数の場合）の可能性がありますが、３の倍数であるということを考慮すると、３個に確定します。
（ウ）９桁の場合
　○○○ 　（○は３桁の整数、各○は異なる数です）
　　　△１△（△は１桁の整数、各△は同じ数とは限りません）となる整数（３の倍数）
百の位が（０、）１、２、３、・・・９の各場合とも、十の位の数が１である数の個数は、３個もしくは４個（先頭（３桁の数△１０）が、３の倍数の場合）の可能性があります。
　　（０００台　　　　　３個　　　　　０１０）←（イ）の場合ですね。
　　　１００台　　　　　３個　　　　　１１０　　　３の倍数となるのは、各位の和が３の倍数の場合です。
　　　２００台　　　　　４個　　　　　２１０（３の倍数）
　　　３００台　　　　　３個　　　　　３１０
　　　４００台　　　　　３個　　　　　４１０
　　　５００台　　　　　４個　　　　　５１０（３の倍数）
　　　６００台　　　　　３個　　　　　６１０
　　　７００台　　　　　３個　　　　　７１０
　　　８００台　　　　　４個　　　　　８１０（３の倍数）
　　　・・・・　　　　　・・・　
　　２１０（３の倍数）→（各位の和が３増加）→５１０（３の倍数）→（各位の和が３増加）→８１０（３の倍数）
　　本問では、３００台以降は、不要です。
　以上、（ア）、（イ）、（ウ）より、求める場合の数は
　３＋７＝１０個

本問の整数が１００個ではなく、３００個の場合、どうなるか考えてみましょう。
上の解説が理解できていればすぐにわかるはずです。

（１）

一番小さい扇（おうぎ）形は、図１の扇形ア（赤色で囲まれた、半径１cm、中心角３０度の扇形）で、一番大きい扇形は、図１の扇形イ（半径４cmの半円）ですね。
面積を比べるために、図１の扇形ウ（黄緑色で囲まれた、半径４cm、中心角３０度の扇形）を考えてみましょう。
扇形アと扇形ウは相似で、相似比は１cm：４cm＝１：４だから、面積比は１×１：４×４となります。←「相似比　Ａ：Ｂ　→　面積比　Ａ×Ａ：Ｂ×Ｂ」
また、扇形イは扇形ウの６個分だから、求める面積比（一番大きいおうぎ形の面積と、一番小さいおうぎ形の面積の比）は
　４×４×６：１×１＝９６：１
となります。

（２）
中心（Ａ）と残りの２点（同じ半円周上）で扇形が決まります。残りの２点のうち「右側」の点を固定して考えて（図３の数字の書き込んでいる部分が「右側」の点となる可能性があります）、その際に残りの点（「左側」の点）が何個取れるか（これが扇形の個数に他なりません）を書き込んで行きます。
わかりにくいので、具体例で考えてみましょう。

残りの２点のうち「右側」の点をＢに固定して考えます。すると、残りの点（「左側」の点）として、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈの６点が取れる（扇形ＡＢＣ、ＡＢＤ、ＡＢＥ、ＡＢＦ、ＡＢＧ、ＡＢＨの６個ができますね）。ので、Ｂのところに６と書き込みます。
次に、残りの２点のうち「右側」の点をＣに固定して考えます。すると、残りの点（「左側」の点）として、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈの５点が取れる（扇形ＡＣＤ、ＡＣＥ、ＡＣＦ、ＡＣＧ、ＡＣＨの５個ができますね）ので、Ｃのところに５と書き込みます。
以下、順次同じ作業を繰り返すだけですね
しかも、以上の処理は、半径１cmの半円周上、半径２cmの半円周上、半径３cmの半円周上、半径４cmの半円周上すべてにおいてまったく同様にできますね。

求める個数は、
　（１＋２＋３＋４＋５＋６）×４
　＝（１＋６）×６×１/２×４　　
　＝８４個

（別解）
中心（Ａ）と残りの２点（同じ半円周上）で扇形が決まります。図２を見てください。
残りの２点の決め方は、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈの７個の点の中から２個の点の選び方に他ならないので、
　（７×６）/（２×１）＝２１通り　（※）を参照しましょう。
半径１cmの半円周上、半径２cmの半円周上、半径３cmの半円周上、半径４cmの半円周上すべてにおいて同様に考えることができるので、求める個数は
　２１×４＝８４個
となります。

（※）組み合わせ
７個の点の中から１個目の点の選び方は７通りあり、そのそれぞれに対して、２個目の点の選び方が６通りあります（７×６通り）。ただ、組み合わせとしては同じもの（例えば、１個目Ｂで２個目Ｈと１個目Ｈで２個目Ｂ）を２×１回ずつカウントしています（２×１倍カウントしているということです）。そこで、７×６を２×１で割ればいいんですね。

（１）
説明の便宜（べんぎ）上、１曲目が始まってから、再び１曲目が始まるまでを１タームと呼ぶことにします。
１タームの時間は、
　　４分＋１５秒＋４分２５秒＋１５秒＋４分５５秒＋１５秒　←最後の１５秒をうっかり落とさないように！　曲と「休み」をペアにして数えれば、大丈夫ですね。
　＝１４分５秒　秒の部分、分の部分をそれぞれ先に計算すると、計算が少し楽ですね。
１４分５秒×４＜６０分（１時間）＜１４分５秒×５となることは、すぐにわかりますね。　←１５分×４＝６０分が頭を過（よぎ）りますよね！
　　６０分－１４分５秒×４
　＝６０分－５６分２０秒
　＝３分４０秒
３分４０秒＜４分（１曲目の曲の長さ）だから、１時間後は、（第５ターム目の）１曲目の曲が流れています。

（２）

（ア）３０分は１時間のちょうど半分だから、（１）の数字を利用するとすぐに見当がつきますね。
　　３０分－１４分５秒×２
　＝３０分－２８分１０秒
　＝１分５０秒
１分５０秒＜４分だから、３０分後は３ターム目の１曲目の曲が流れているので、３０分間に２曲目の曲は２回流れたことがわかります。

（イ）曲は全然流れていないので、当然、２曲目の曲も流れていません。

（ウ）１時間より１５分（１４分５秒と大して変わりませんね）長いだけだから、（１）の数字を利用して見当をつけることができますね。
１４分５秒×５＜７５分（１時間１５分）＜１４分５秒×６となることは、すぐにわかりますね。
　　７５分－１４分５秒×５
　＝７５分－７０分２５秒
　＝４分３５秒
　　　３曲目から曲が流れていることに注意！！
４分３５秒＜４分５５秒（３曲目の曲の長さ）だから、１時間１５分後は６ターム目の３曲目の曲が流れているので、１時間１５分の間に２曲目の曲は５回流れたことがわかります。　←３曲目の曲・１曲目の曲・２曲目の曲の順に流れることに注意！！

以上、（ア）、（イ）、（ウ）より、２曲目の曲が流れた回数は、
　　２＋０＋５＝７回
となります。　　

なお、時間を秒に揃（そろ）えて、計算することも可能ですが、やめたほうがいいでしょう。
特に、桜蔭中学の短い試験時間（０４年からは、５０分になりますが・・・）を考慮すると、避けるべきでしょう。

どの種類の硬貨も１枚以上使うことと金額を５で割った余り（５円未満の端数）は１円で支払うしかないことを考慮（こうりょ）すると、　←厳しい条件をまず考慮します。
　　１１８－（５０＋１０＋５＋３）＝５０円
を１円、５円、１０円、５０円の４種類の硬貨（１円は７枚で、それ以外の硬貨は、９枚ずつあります）で支払う方法を求めればいいですね。
あとは、樹形図を描いて数え上げるだけです（表をかいて数え上げてもいいでしょう）。
　　条件の厳しい５０円硬貨の枚数から描き始める！
　　　　　　５０円硬貨１枚→１０円硬貨５枚に両替
　　　　　　１０円硬貨１枚→５円硬貨２枚に両替
　　　　　　５円硬貨１枚→１円硬貨５枚に両替

以上より、支払う方法は１１通りとなります。

（１）

　（求める個数）
　＝（４桁（けた）の数の個数）－（各位の数がすべて異なる４桁の数の個数）
　　　　　　　　　数えすぎ　　→　　調整
　＝４×４×４×４－４×３×２×１
　＝８×（３２－３） 分配法則の逆を利用しました。
　＝８×（３０－１）
　＝２４０－８　分配法則を利用しました。
　＝２３２個
なお、１６×１６＝２５６を覚えていれば、単純に
　２５６－２４＝２３２個
と計算するほうがいいでしょう。

（別解）

樹形図を描きます（少し面倒ですが・・・）。
条件の対等性を利用することで少し楽になります。

　　　　　　　　同じ色で囲んだ部分の枝の配置は同じになります。

　｛４×４＋（４×２＋３×２）×３｝×４＝５８×４＝２３２個

（２）

（ア）１０００台の数

　（１０００台の数の個数）－（各位の数がすべて異なる１０００台の数の個数）
　＝１×４×４×４－１×３×２×１
　＝６４－６＝５８個　←１、２、３、４が条件的に同じこと（対等性）を利用して、２３２÷４とすると楽になります。

（イ）２０００台の数

　５８個　←１と２は条件的に同じ（対等性）だから、（ア）と同じになります。

（ウ）３０００台の数

書き出しましょう。
　　３１１１
　　　　１２
　　　　１３
　　　　１４
　　３１２１
　　　　２２
　　　　２３
　　　　２４
　　３１３１

（ア）、（イ）、（ウ）より
　　５８×２＋４＋３＋１＝１２４番目

なお、（１）で樹形図の解法を採用した場合、樹形図を読み取る（千の位が３のところと千の位が１のところの枝の配置は同じなので、完成させていなくても読み取ることができます）ことで、（２）の答えを出すこともできます。

規則性の問題では、次のように考えるといいでしょう。

　　小さな例を作り実験 ⇒ 観察 ⇒ 規則性の把握（はあく） ⇒ 一般化

上の赤数字のようにうまく対応させましょう！
１＋（１＋２＋３＋４＋…＋□）が５０をはじめて越えたときの□が求める個数になります。
１＋２＋３＋４＋…＋１０＝５５で見当をつけることができますね。
求める個数は、１０個となります。

なお、１＋（１＋２＋３＋４＋…＋○）≦５０を満たす最大の○（９となります）を見つけて、○＋１＝９+１=１０個としてもよいでしょう。
また、１＋２＋３＋４＋…＋１０＝５５で見当をつけることができなかったら、書き出して調べるか、等差数列の和の公式を使った後で見当をつけることになります。

（１）だけを考えた場合、書き出すのはベストではありませんが、（３）まで視野に入れた場合、書き出すのがベストでしょう。（３）を解く際に書き出す必要性があるからです。

（２）
リボンをつけている人形は、「２で割って１余る数（奇数ですね）」番目の人形になり、帽子をかぶっている人形は、「３で割って２余る数」番目の人形になります。　←すぐにわからない人は、順番に書き出して調べましょう。
リボンと帽子の両方をつけている人形の次の人形（Ｐとします）は、「２でも３でも割り切れる数」番目の人形です。
一番初めにＰが現れるのは左端から６（２と３の最小公倍数）番目だから、一番初めにリボンと帽子の両方をつけている人形が現れるのは左端から６－１＝５番目になります。

数が少ないので、リボンが２個周期、帽子が３個周期で出てくることに着眼し、６（２と３の最小公倍数）個目までを調べてもよいでしょう。

（３）
リボンと帽子の両方をつけている人形は、（２）の後６個ごとに現れます。
書き出してみると、次のようになります。　←（６の倍数）－１と考えると、書き出しやすいでしょう。

　　５　　１１　　１７　　２３　　２９　　３５　　４１　　４７

また、花をつけている人形を書き出してみると、次のようになります。

　　１　　２　　４　　７　　１１　　１６　　２２　　２９　　３７　　４６

以上より、リボン、帽子、花の３つをつけている人形は、１１番目と２９番目の２個となります。

（別解）（２）（３）をまとめて処理します。全部で５０個なので、このようにするのが実戦的かもしれません。

リボンと帽子の両方をつけている人形は、左から５列目だけですね。

（２）左から５列目、上から１番目になるので、５番目となります。
（３）左から５列目の中で、花をつけている人形をチェックすればいいですね。