３ｍの棒も５ｍの棒も最低１本ずつ用いるから、３＋５＝８ｍ以上の棒しか作れません。
そこで、８ｍを除いた棒の長さ（□）に注目して考えます。
　棒の長さ＝８＋□
　　　　　　　　　注目！
あとは、３と５で作ることができない最大の□を求めるだけですね。
横に６個ずつ数字を並べた表をかきます。

上の図で、ある数が作られると、その数の下にある数はすべて作ることができます（★）。縦方向は、６（３＋３で作ることができますね）ずつ増えるからです。
また、ある数が作られると、その数の左斜め下にある数はすべて作ることができます（☆）。左斜め下方向は、５ずつ増えるからです。
まず、１、２、４は明らかに作ることができませんね。いずれの数も３で割り切れないため、５ｍの棒を使う必要があるのですが、５よりも小さい数を５ｍの棒を使って作ることはできないからです。
また、明らかに３、５、６（３＋３）は作ることができますね。
そして、（★）と（☆）を使うことにより、残りの数のうち作ることができる可能性があるのは、７のみとなりますが、実際に作ることは不可能です。なぜなら、５を使うと、残りは２となり、明らかに不適当ですし、５を使わないとすると、７は３で割り切れないため、やはり不適当だからです。
以上より、３と５で作ることができない最大の□は、７だとわかりました。
よって、求める答えは、
　８＋７＝１５ｍ
となります。
本問では不要ですが、作ることができない長さは、次の１１個のみです。
　１、２、３、４、５、６、７ｍ　←８以下だから、無理ですね！
　８＋１＝９ｍ　←図から、無理だとわかりましたね。
　８＋２＝１０ｍ　←図から、無理だとわかりましたね。
　８＋４＝１２ｍ　←図から、無理だとわかりましたね。
　８＋７＝１５ｍ　←図から、無理だとわかりましたね。

割り切れないより、割り切れるほうが楽ですね。なんとか割り切れるようにならないかなという発想が大事です。
（求める数）＋２は、４と７で割り切れます。
言い換えると、（求める数）＋２は、２８（４と７の最小公倍数）の倍数となります。
また、求める数は、１００から２００までの整数の中にあるので、
　１０２≦（求める数）＋２≦２０２
となります。
上の２つの条件を満たす「（求める数）＋２となる数」（整数）を書き出すと、
　１１２、１４０、１６８、１９６　←２８ごとに現れます（２８周期）
です。　　２８が２５に近いこと、１０２が１００に近いことから、２５×４＝１００を思い浮かべて、１１２を見つけました。
よって、求める数は、
　１１０、１３８、１６６、１９４
となります。

もし、下線部分に気付かなければ・・・
まず、７で割って５余る（１００以上２００以下の）整数という条件を検討
１００以上２００以下の整数の中で、７で割って５余る整数を書き出すと、
　１０３、１１０、１１７、１２４、１３１、１３８、１４５、１５２、１５９、１６６、１７３、１８０、１８７、１９４
　　↑７ごとに現れます（７周期）
次に、４で割って２余る（１００以上２００以下の）整数という条件をチェック
この中で、４で割って２余る数（求める数）は、
　１１０、１３８、１６６、１９４ 　←２８ごとに現れます（２８周期）
です。
　（４で割って２余る数のチェック方法）
　　まず、奇数を消します（４で割って１余る数と３余る数が消せますね）。
　　次に、４の倍数（下２桁（けた）が４の倍数）を消します（４で割り切れる数が消せますね）。
なお、７で割って５余る数という条件を４で割って２余る数という条件よりも先に検討したのは、次の２つの理由からです。
第１に、４で割って２余る数の方が、７で割って５余る数よりも個数が多いため、４で割って２余る数を書き出すほうが面倒だからという理由。
第２に、７で割って５余る数をあとでチェックするのが面倒だからという理由。

（１）
　一般に、連続２整数のうち一方は偶数（２の倍数）です。・・・★　←２の倍数（偶数）は、周期２で現れます。
　一般に、連続３整数には３の倍数が１つ含まれます。・・・☆　←３の倍数（偶数）は、周期３で現れます。
★と☆により、各組の連続３整数の積は６（２と３の最小公倍数）の倍数となります。

（２）

　　各組の先頭の数＋２＝当該組の最後の数だから、各組の先頭の数と最後の数の偶奇は一致します。
（１）を考慮すると、３つの数の積が１２の倍数となっているのは、次の２つの場合だとわかります。
　　３つの数の積が３の倍数となるという条件は考慮しなくてもいいですね。
　（Ａ）偶数が２つ含まれる（両端の数が偶数）場合
　（Ｂ）偶数が１つだけ含まれ（真中の数が偶数）、それが４の倍数の場合
（Ａ）の場合　←各組の先頭の数に注目！
各組の先頭の数が偶数のとき、当該組の最後の数も偶数となるので、各組の先頭の数が偶数であればいいですね。
結局、１以上９８以下の偶数の個数を求めればいいですね。
　[９８/２]＝４９組　←９８÷２の商ですね。
[○]は、○を超えない最大の整数を表します。
例えば、[３．１４]＝３、[２]＝２となります。
（Ｂ）の場合　←各組の真中の数に注目！
２以上９９以下の４の倍数の個数を求めればいいのですが、１は明らかに４の倍数ではないので、結局、１以上９９以下の４の倍数の個数を求めればいいですね。
　[９９/４]＝２４組　←９９÷４の商ですね。
　　　以上の（Ａ）と（Ｂ）は同時に起こらないですね。
以上、（Ａ）、（Ｂ）より　
　４９＋２４＝７３組

バスカードの購入価格は、
　　５０００－５００＝４５００円　←１割は暗算できるので、いちいち小数にしないようにしましょう。
ですね。
１回のバス運賃が２００円だから、５８００円で
　　５８００÷２００＝２９回
バスに乗ることができますね。
したがって、１回あたり
　　４５００÷２９＝１５５．１…→１５５円
でバスに乗ることになります。

（１）
（３で割ると１余る２の倍数（□とします））

割り切れないより、割り切れるほうが楽ですね。なんとか割り切れるようにならないかなという発想が大切です。
□＋２は、３と２で割り切れます。
言い換えると、□＋２は、３×２（３と２の最小公倍数）の倍数となります。
また、□は、１から１０００までの整数の中にあるので、
　　３≦□＋２≦１００２
となります。
結局、３以上１００２以下の６（３×２）の倍数の個数を求めなさいということですね。
　　[１００２/（３×２）]－[２/（３×２）]　←うまく約分できますね。
　＝１６７－０＝１６７個

なお、［○］は、○を超えない最大の整数を表すものとします。
例えば、[３．１４]＝３、[２]＝２となります。

下線部分に気付かなくても、１あたり、１０００あたりの３で割ると１余る数を書き出して、２の倍数を見つければなんとかなります。その際、問題文の「１や１０００は３で割ると１余る整数です。」が役立ちます。
　　１、４、・・・
　　１０００
　　求める個数
　＝（１０００－４）/（３×２）＋１　←３で割ると１余る数は、周期３で現れ、２の倍数は周期２で現れるので、３で割ると１余る２の倍数は、周期６（３×２）で現れます。
　＝１６７個
問題文の「１や１０００は３で割ると１余る整数です」の意味を考えると、この解法が出題者の意図したものかもしれませんね。

（３で割ると１余る５の倍数（△とします））

先ほどと全く同様ですね。
△＋５は、３と５で割り切れます。
言い換えると、△＋５は、３×５（３と５の最小公倍数）の倍数となります。
また、△は、１から１０００までの整数の中にあるので、
　　６≦△＋５≦１００５
となります。
結局、６以上１００５以下の１５（３×５）の倍数の個数を求めなさいということですね。
　　[１００５/（３×５）]－[５/（３×５）]　←うまく約分できますね。
　＝６７－０＝６７個

下線部分に気付かなくても、１あたり、１０００あたりの３で割ると１余る数を書き出して、５の倍数を見つければなんとかなります。その際、問題文の「１や１０００は３で割ると１余る整数です。」が役立ちます。
　　１、４、７、１０、・・・
　　１０００
　　求める個数
　＝（１０００－１０）/（３×５）＋１　←３で割ると１余る数は、周期３で現れ、５の倍数は周期５で現れるので、３で割ると１余る５の倍数は、周期１５（３×５）で現れます。
　＝６７個

（２）

（１）が利用できますね。
まず、１から１０００までの整数の中で、３で割ると１余る数の個数を求めます。
問題文に「１や１０００は３で割ると１余る整数です。」と書いてあるので、これを利用します。
　　（１０００－１）/３＋１＝３３４個
となります。
もちろん、（１）と同様に、３で割ると１余る数に２をたしたものが３の倍数となることを利用してもいいでしょう。
次に、１から１０００までの整数の中で、３で割ると１余り、２の倍数でしかも５の倍数、つまり、１０（２と５の最小公倍数）の倍数となる数の個数を求めます。
先ほどと全く同様ですね。
▽＋２０は、３と１０で割り切れます（▽は、３で割ると１余る１０の倍数を表します）。
言い換えると、▽＋２０は、３０（３と１０の最小公倍数）の倍数となります。
また、▽は、１から１０００までの整数の中にあるので、
　　２１≦▽＋２０≦１０２０
となります。
結局、２１以上１０２０以下の３０（３×１０）の倍数の個数を求めればいいですね。
　　[１０２０/（３０）]－[２０/３０]　←うまく約分できますね。
　＝３４－０＝３４個

下線部分に気付かなくても、１あたり、１０００あたりの３で割ると１余る数を書き出して、１０の倍数を見つければなんとかなります。その際、問題文の「１や１０００は３で割ると１余る整数です。」が役立ちます。
　　１、４、７、１０、・・・
　　１０００
　　求める個数
　＝（１０００－１０）/（３０）＋１
　＝３４個

さて、これで答えを求める準備が整いました。
今、
　　Ｕ＝１から１０００までの整数の中で、３で割ると１余る数の個数
　　Ａ＝１から１０００までの整数の中で、３で割ると１余る２の倍数の個数
　　Ｂ＝１から１０００までの整数の中で、３で割ると１余る５の倍数の個数
　　Ｃ＝１から１０００までの整数の中で、３で割ると１余る１０の倍数（２の倍数で、しかも５の倍数）の個数
とします。

求める個数は、
　　Ｕ－Ａ－Ｂ＋Ｃ　←Ｕ－（Ａ＋Ｂ－Ｃ）としてもいいでしょう。
　＝３３４－１６７－６７＋３４
　＝１３４個
となります。

（別解）

倍数・余りの周期性に注目して書き出します。
　　３で割ると１余る整数→周期３
　　２の倍数→周期２
　　５の倍数→周期５
周期が一致するのは、３０（３と２と５の最小公倍数）だから、３０だけ調べればいいですね。（３０以降は同様の繰り返しになります。）
　　１０００÷３０
　＝３３・・・余り１０
だから、３３周期分と１０個分になります。
ここから書き出して調べます。横に６個ずつ並べるのがポイントです。

２で割った余りが同じ数（偶数、奇数）、３で割った余りが同じ数（３の倍数、３で割ると１余る数、３で割ると２余る数）、６で割った余りが同じ数（６の倍数、６で割ると１余る数、６で割ると２余る数、・・・）がそれぞれ縦方向に現れ、５で割った余りが同じ数（５の倍数、５で割ると１余る数、５で割ると２余る数、・・・）が左斜め下方向に現れるので、わかりやすいですね。（因みに、７で割った余りが同じ数（７の倍数など）は右斜め下方向に現れます。）
３で割ると１余る数は、左から１番目と４番目の縦方向（図の矢印方向）だけですね。
左から１番目と４番目の縦方向のうち、２の倍数となるのは、左から４番目だけですね。
３で割ると１余る２の倍数は、１周期（水色で囲んだ部分）に５個あります。最後（３４周期目）の半端１０個には２個含まれています。（１周期目の１～１０の４と１０に相当する数になります）。
以上より、３で割ると１余る２の倍数の個数は
　　５×３３＋２
　＝１６７個・・・（１）の前半の答え
となります。

３で割ると１余る数が、左から１番目と４番目の縦方向（右図の矢印方向）だけなのは、先ほどと同じです。
５の倍数は、図のように右斜め方向に現れます。
３で割ると１余る５の倍数は、１周期に２個あります。最後（３４周期目）の半端１０個には１個含まれています。（１周期目の１～１０の１０に相当する数になります）。
以上より、３で割ると１余る５の倍数の個数は
　　２×３３＋１
　＝６７個・・・（１）の後半の答え
となります。

３で割ると１余る数が、左から１番目と４番目の縦方向（図の矢印方向）だけなのは、先ほどと同じです。
２の倍数と５の倍数を取り除きます。取り除き方は、上の説明を見ればわかりますね。
３で割ると１余る整数で、５の倍数でも２の倍数でない整数は、１周期に４個あります。最後（３４周期目）の半端１０個には２個含まれています。（１周期目の１～１０の１と７に相当する数になります。）
以上より、３で割ると１余る整数で、５の倍数でも２の倍数でない整数の個数は
　　４×３３＋２
　＝１３４個・・・（２）の答え
となります。

　　１桁の整数の個数　９個
　　２桁の整数の個数　９９－９＝９０個
　　３桁の整数の個数　９９９－９９＝９００個
　　４桁の整数の個数　９９９９－９９９＝９０００個
　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
（１）
何桁かを求めるためには、数字が何個使われているかを求めればいいですね。

　　１桁の整数（数字を１個使用）の個数　９個
　　２桁の整数（数字を２個使用）の個数　９９－９＝９０個
　　３桁の整数（数字を３個使用）の個数　１００の１個

以上より、求める桁数は
　　１×９＋２×９０＋３×１＝１９２桁

（２）
（前半）
また同じ問題です。（１）の意図が不明ですね。点を与えるための問題だったのかもしれませんが・・・

　　１桁の整数（数字を１個使用）の個数　９個
　　２桁の整数（数字を２個使用）の個数　９９－９＝９０個
　　３桁の整数（数字を３個使用）の個数　９９９－９９＝９００個
　　４桁の整数（数字を４個使用）の個数　１０００の１個

以上より、求める桁数は
　　１×９＋２×９０＋３×９００＋４×１＝２８９３桁

（後半）
例えば、１を００１、９７を０９７などのように、１桁の整数は先頭に０を２個、２桁の整数は０を１個加えて、３桁の整数（数字を３個使用）とみなします。　←２月を０２月などと表記するのと同じことですね。
すると、０００から９９９までの整数（１０００個ありますね）を書くと、数字は全部で
　　３×１０００＝３０００個
使用することになります。
この３０００個の中には、０から９までの１０種類の数字が同じ数ずつあるから、０００から９９９までの中の１の個数は
　　３０００÷１０＝３００個
となります。よって、求める回数は、１０００を書いたときの１個を加えて、
　　３００＋１＝３０１回
となります。

なお、次のようにしてもいいでしょう。少し面倒ですが・・・

以上より、１から１０００まで整数を書いたときの１の使用回数は
　　１＋１９＋２８０＋１＝３０１回
となります。

（１）

　偶奇性

　　　奇数＋奇数＝偶数
　　　奇数＋偶数＝奇数
　　　偶数＋偶数＝偶数
　　　上の足し算が引き算になっても同じことです。

　　　奇数×奇数＝奇数
　　　奇数×偶数＝偶数
　　　偶数×偶数＝偶数

さて、問題を解いていきましょう。
aを偶数とし、b、c、dを奇数（b≦c≦d）としても一般性は失われません。
　　a＋b＝６３・・・①
　　a＋c＝７５・・・②
　　a＋d＝１０７・・・③
　　b＋c＝５４・・・④
　　b＋d＝８６・・・⑤
　　c＋d＝９８・・・⑥
④、⑤、⑥より
　　（b＋c）＋（b＋d）＋（c＋d）＝５４＋８６＋９８
　　（b＋c＋d）×２＝２３８
　　b＋c＋d＝２３８÷２＝１１９・・・３つの奇数の和

（２）
b≦c≦dなので、最小の数の候補はaとb、最大の数の候補はaとdになります。
②と④を見比べると、aはbより大きい、つまり、最小の数でないことがわかります。
また、①と⑤を見比べると、aはdより小さい、つまり、最大の数でないことがわかります。
したがって、求める差は、d－bとなります。④と⑥を見比べると
　　９８－５４＝４４
と求まります。

（別解）
４つの数を求めて解いてもいいでしょう。
この問題では、上の解法のほうが優れていると思います（わざわざ最大の数と最小の数との差を求めることを要求していますから）が、（１）の意味を考えると、出題者は、こちらの（別解）のほうを想定していたのかもしれません。どちらにせよ、（１）と（２）で意図が分裂（ぶんれつ）しているような問題です。

①、②、③より
　　（a＋b）＋（a＋c）＋（a＋d）＝６３＋７５＋１０７
　　a×３＋（b＋c＋d）＝２４５
（１）より　←（１）が使えましたね。
　　a＝（２４５－１１９）/３＝１２６/３＝４２
また、（１）の結果と④、⑤、⑥それぞれを見比べると、
　　d＝１１９－５４＝６５
　　c＝１１９－８６＝３３
　　b＝１１９－９８＝２１
以上より、最大の数と最小の数との差は
　　d－b＝６５－２１＝４４

（１）
４つの数のうち２つを選ぶ場合の選び方は（４×３）/（２×１）＝６通りだから、問題の６つの和はすべての場合を尽（つ）くしています。また、６つの和に出てくる数の個数は２×６＝１２個であり、対等性から各数は同じ個数となるので、結局、６つの和の合計に、各数は３個ずつ出てきます。　←本問では、ここまで考える必要はないでしょう。単純に、６つの和を合計すると、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがそれぞれ３個ずつになったという程度でいいでしょう。
したがって、Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄの値は、
　　３６３÷３＝１２１
となります。

下のような表を作るとわかりやすいかもしれませんね。

（２）
６つの和の大小関係は、次の図のようになります。

６つの和は小さい方から順に３ずつ大きくなっているので、
　　（Ａ＋Ｄ）－（Ｂ＋Ｃ）＝３・・・①
また、（１）より
　　（Ａ＋Ｄ）＋（Ｂ＋Ｃ）＝１２１・・・②
和差算（①と②）により
　　Ａ＋Ｄ＝（１２１＋３）÷２＝６２・・・③
　　Ｂ＋Ｃ＝６２－３＝５９・・・④
また、６つの和は小さい方から順に３ずつ大きくなっているので、Ａ＋Ｂ＋３＝Ａ＋Ｃとなり、Ｃ－Ｂ＝３・・・⑤
和差算（④と⑤）により
　　Ｂ＝（５９－３）÷２＝２８
　　Ｃ＝２８＋３＝３１
また、６つの和は小さい方から順に３ずつ大きくなっているので、Ａ＋Ｃ＋３×４＝Ｃ＋Ｄとなり、Ｄ－Ａ＝１２・・・⑥
和差算（③と⑥）により
　　Ａ＝（６２－１２）÷２＝２５
　　Ｄ＝２５＋１２＝３７

（１）
まず定価（６００円）で購入し、後でキャッシュバック（返金）してくれると考えます。
定価の１割、定価の２割は、それぞれ６０円、１２０円と暗算で出せますね。
７０個購入したときの代金は、
　　６００×７０－１２０×（７０－６０）－６０×（６０－３０）
　＝４２０００－１２００－１８００
　＝３９０００円
となります。

（２）
定価（６００円）で購入したとしても、６００００円あれば、１００個購入できます。
ということは、９０個を超（こ）えていることは確実です。
ところが、割引率を見ても、１２０個を超えているかは微妙な感じです。
そこで、いったん９０個購入して、残金でさらに購入すると考えます。　←まず、大雑把（おおざっぱ）に見当をつけてから、あとで微調整します。
９０個購入した時点で、
　　６００×９０－１２０×（９０－６０）－６０×（６０－３０）　←（１）の式の「７０」を「９０」に修正するだけですね。３９０００＋６００×２０－１２０×２０としてもいいでしょう。
　＝５４０００－３６００－１８００
　＝４８６００円
使っているので、残金は、
　　６００００－４８６００＝１１４００円
となります。
９１個以上１２０個以下では、定価（６００円）の３割引の価格（７割の価格）が適用されます。
仮に３０個購入したと仮定すると、
　　（６００×７０/１００）×３０
　＝４２０×３０
　＝１２６００円
となり、１１４００円を
　　１２６００－１１４００＝１２００円
超えてしまいます。
１２００円というのは、４２０円の２個分より大きく、３個分より小さいので、実際に３割引きの価格で購入した個数は
　　３０－３＝２７個　←２個返品しても駄目（だめ）ですが、３個返品するとオーケーですよね。
となります。
以上より、６００００円では
　　９０＋２７＝１１７個
購入できることがわかります。

Ｓを求める際、図の赤斜線部分は、４回カウントします（Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄで平均を求める際に、それぞれカウントします）。また、図の青斜線部分は、２回ずつカウントします（隣接（りんせつ）するアルファベット２つで平均を求める際にそれぞれカウントします。例えば、一番左の青斜線部分の場合、隣接する２つのアルファベットＡとＣで平均を求める際にカウントします）。それ以外の部分（無印の部分）は、１回ずつカウントします（隣接（りんせつ）するアルファベット１つで平均を求める際にそれぞれカウントします。例えば、一番左上の無印部分の場合、隣接する１つのアルファベットＡで平均を求める際にカウントします）。
この問題は、このことに気づけば非常に簡単な問題です。　←すぐに気づかなくても、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを求めようとすれば、気づくでしょう。

（１）

Ｓを最も大きくするには、カウント回数の多いところほど大きい数字を入れるようにすればいいでしょう。
つまり、
　　赤斜線部分に９、青斜線部分に、８、７、６、５、無印の部分に４、３、２、１
とすればいいですね。
　　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを個別に求めずに、式を一気に立てるのがいいでしょう。

（２）

（１）とちょうど逆の問題ですね。
Ｓを最も小さくするには、カウント回数の多いところほど小さい数字を入れるようにすればいいでしょう。
つまり、
　　赤斜線部分に１、青斜線部分に、２、３、４、５、無印の部分に６、７、８、９
とすればいいですね。
　　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを個別に求めずに、式を一気にに立てるのがいいでしょう。

なお、（２）の計算は（１）との差に注目してもいいでしょう。

　　９→１
　　　８減　４回カウント　１箇所（かしょ）
　　８→５
　　７→４
　　６→３
　　５→２
　　　３減　２回カウント　４箇所
　　４→９
　　３→８
　　２→７
　　１→６
　　　５増　１回カウント　４箇所