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■ 数学で用いられる「必要条件」「十分条件」という用語は，日常生活で用いられる”必要"，"十分"とは異なるものです． 数学上の必要条件，十分条件は，ｐならばｑ（記号では，ｐ→ｑ）という関係が成り立つかどうかで決まります． ｐならばｑ が成り立つとき， 「ｑはｐであるための必要条件」 ■
十分必要条件とはいいません．
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ｐ→ｑ と ｐ←ｑ のどちらも成り立たないとき ｐはｑであるための必要条件でも十分条件でもありません． |
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２つの命題（１つの判断を述べた文章や式で，正しいか正しくないかが定まるものを命題といいます．）があるときに，一方が他方の必要条件あるいは十分条件といういい方をし，ある命題１つについてそれ自体で必要条件とか十分条件とかということはいえません． ［例１］ |
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２つの命題が与えられたとき，一方が他方の何条件であるかを判断するには，矢印を２つ作ってみて，どちら向きの矢印が成立するかで考えます．正しい推論で一方から他方が選られるとき，その矢印は「成立」すると考えます． 図示できるときは，中に入っている方が十分条件です． |
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［例３］
「ｍａ＝ｍｂ は ａ＝ｂ であるための何条件ですか」という問題があるとき， ○ ｍａ＝ｍｂ → ｍ（ａ−ｂ）＝０ → ｍ＝０またはａ−ｂ＝０ ［ａ＝ｂに行くとは限らず，ｍ＝０に行くこともある］ ○ ａ＝ｂ → ｍａ＝ｍｂ （両辺に同じ数を掛けても等しい）， だから， ※ 上の説明において，「ｍａ＝ｍｂ → ａ−ｂ＝０」が成り立たないことは，１つの例 ｍ＝０，ａ＝1，ｂ＝２ を示すだけで証明できます．このように，ある命題（主張）ｐ→ｑが成り立たないことを示す例は「反例」と呼ばれます． ○ ｐ→ｑ の反例としては，「ｐが成り立ち」かつ「ｑが成り立たない」ものでなければなりません． ○ ｐ→ｑ は （すべての）「ｐについてｑが成り立つ」の省略なので，「１つでもｐであってかつｑでないもの」があれば，ｐ→ｑが間違っていることになります．しかし，「あるｐについてｑが成り立つ」ことを示しても他のｐについてｑが成り立つことは示せていないから，ｐ→ｑが成立することの証明にはなりません． このように 例を幾つ示しても成り立つことの証明にはなりません． |
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