教科書風の証明としては、No.７さんの雰囲気で、
(1)接点を通る半径に垂直に交わってる直線を考えると、この直線は、接線の時以外は円といつでも２点で交わっています。そして、合同な２つの直角三角形が常に現れていています。
(2)ここで、この直線と半径の交点を接点に近づくように直線を動かしていくと、２つの交点は、今考えている半径に対して、左右対称の位置のまま接点に近づいていきます。
(3)そして、直線と半径との交点が接点の位置になったとき、この２つの交点は一致して、それは接点の位置になります。そしてこのとき、直線は接線となり、いま考えている半径に対して垂直のままです。
こんな感じですが・・・。
投稿日時 - 2005-02-26 04:48:04
お礼
よくわかりました。
回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2005-03-22 13:52:49
7人が「このQ&Aが役に立った」と投票しています
ベストアンサー以外の回答（11件中 1～5件目)
かなり昔に同じ質問をしたことがあります。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=150127
No5がわかりやすかったです。
#同じ質問でこれだけ回答数が違うのは３年半の間にこれだけユーザーが増えたってことなのかなぁ。
参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=150127
投稿日時 - 2005-02-28 00:25:30
お礼
大変遅くなって申し訳ありません。
背理法はやっぱりよくわかりませんでした。
私には、NO.3さんの回答がわかりやすかったです。
接弦定理、つい最近習ったところだったので。
回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2005-04-11 01:24:31
これは中学生でも解けますよ。（私が中1の時幾何の授業で習いました。因みに今高1です。）
これは「円の接線は接点を通る半径に垂直である」を証明するのではなく、まず
「円の半径の端点を通る直線の中で、その半径に垂直な直線は垂線であり、（垂直でないものは割線である）」
という《定理》を証明します。
（証明）
円Oの周上の一点をTとし、OTに垂直な直線をABとする。AB上のTと異なる点をT'とするとOT'は直角三角形OTT'の斜辺であるから OT'＞OTである。よってT'は円Oの周上のにはない。円Oと直線ABはただ一つの点Tを共有するから直線ABは円Oの接線である。
次に円Oの周上の点をAとし、Aを通りOAに垂直でない直線ｌにOより垂線OMを引く。AMの延長上にBをとりAM=BMになるようにすると
AM=BM・OM共通・∠AMO=∠BMO=∠R（90度）より
△OAM=△OBM（二辺夾角相当）
∴OA=OB（=半径）
よりBは円Oの周上にある。円Oと直線ｌは2点A、Bを共有するから直線ｌは円Oの割線である。
Q.E.D.（証明終了）
以上より「接点を通る半径に垂直な直線は垂線」であることが証明できました。これは定理です。次に質問であった、「円の接線は、接点を通る半径に垂直である」は定理より明らかです。（垂上の定理の証明より、直でないと接線ではなく割線となるからです。）
このように定理明すぐに導かれる事柄で、もとの定理に劣らぬ重要性を持つものと考えられるものを『その定理の系』と言い、今回の質問の「円の接線は、接点を通る半径に垂直である」今回証明した定理の系にあたります。（定理が証明されてしまえば公理のように当たり前の事なので、証明の必要はないです。）
長くなってしまって御免なさい。証明は図を書いて見て下さい。わかりやすくなるはずです。証明でわからない所がありましたら、解答の補足に書いて下さい。
投稿日時 - 2005-02-26 19:24:02
お礼
大変遅くなって申し訳ありません。
証明、すごく難しいですね。
すいません、私のレベルが低いのかも・・・
割線という言葉もはじめて聞きました。
こんな難しいものを、中１で学習されたとはおどろきです。
私は中２なのにまだまだです。
回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2005-04-11 01:19:26
厳密に証明するっていうわけではないけど垂直になることが納得できないなら自分で実際に作図してみるというのもひとつの手じゃないかな？
円を書いてそして適当なところに接線を引いてみる。円の中心からこの接線までの最も短い線分は接点のところになるよね。
ある点から直線ａｂまでの距離が最も短い線は直線ａｂと垂直に交わるところというのは想像つくと思う。９０度から少しでもずれたら最も短い線よりちょっと長くなっちゃう。
三角形の高さもある点から底辺までの最短距離の線を引くわけだけどこれも垂直になるしね。
投稿日時 - 2005-02-26 14:22:40
お礼
すごくわかりやすかったです。
回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2005-03-22 13:55:53
中学生の方にはちょっと難しいかもしれませんが、この証明は、かの有名な「ユークリッド原論」にもかかれています。ちなみにこの証明には、背理法というものを使います。(背理法とは、命題を偽だと仮定すると、結論に矛盾が生じるため、結果として命題は正しいと導く証明方法です。)
まずこれを証明するためには
命題
「三角形の２つの辺を取る。そのうちの長い辺の対角は、短い辺の対角よりも大きい。」
を知ってる必要があります。つまり、「三角形ＡＢＣにおいてＡＣ＞ＡＢであるから、∠Ｂ＞∠Ｃである」というものです。
この命題を利用して
(証明)
円Ｏ上の点Ａで接線を引く。もし、接線と半径が垂直でなかったとすると、中心から接線に下ろした垂線の足は接点Ａとは別の点Ｂになる。∠ＯＢＡ＝９０°だから、∠ＯＡＢ＜９０°である。
命題により
∴ＯＡ＞ＯＢ…(1)
ところが、線分ＯＢは円周と交わるから、ＯＢは円Ｏの半径より大きい。すなわちＯＣ＜ＯＢ。
∴ＯＡ＜ＯＢ…(2)
すると(1)と(2)は矛盾する。
よって、半径と接線は垂直でなければならない。(証明終)
これは幾何学の問題なので、図を描いて考えるとわかりやすいと思います。
投稿日時 - 2005-02-26 02:37:47
お礼
背理法について考えてみたのですが、やっぱりよくわかりませんでした。
頭が悪いのかも・・・と少し落ち込みました。
いずれ学習するときまで、保留にしておきます。
回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2005-03-22 13:50:16