gyoのＳＦ界、相対性理論、鏡のパラドックス
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図解雑学、時空図で理解する相対性理論。和田純夫著。ナツメ社。１２００円
この本の１０２ページに「鏡のパラドックス」があります。 この説明は、地上基準でも、走る人基準でも、顔から鏡への光の往復時間は、 ある調整をすると、ともに約４０００分の１秒と同じになると説明しています。 ここではその原因を説明します。

○　　　　　　　　　　○　０　走る人と鏡の距離は３０ｃｍです
｜　　　　　　　　　　｜ー
ハ　　　　　　　　　　ハ
地上で見ている人　　光速３００億ｃｍ毎秒よりわずか１ｃｍ毎秒遅く走る人

地上で見ている人を基準に、走っている人と鏡の間の光の往復時間は

顔→鏡鏡→顔合計
光の速さ１cm毎秒（６００億−１）cm毎秒
顔と鏡の距離３０cm３０cm
かかる時間(30÷１)秒(30÷(600億-1))秒約30秒
鏡を持って走っている人を基準に、走っている人と鏡の間の光の往復時間は
顔→鏡鏡→顔合計
光の速さ300億cm毎秒300億cm毎秒
顔と鏡の距離３０cm３０cm
かかる時間(30÷300億)秒(30÷300億)秒(2/10億)秒

このように地上で見ている人は、光の往復時間が約30秒です。
光速から１cm毎秒遅れて走る人は、光の往復時間が(2/10億)秒です。
この時間の違いがあることは、光速不変が考慮されていません。
そこで地上の約30秒には(1-(v/c)2)1/2を掛けます。
走る人の(2/10億)秒は(1-(v/c)2)1/2で割ります。
ｖは走る速さです。
ｃは光速です。
このように調整すると、地上も走る人も、共に同じ　約4000分の１秒になります。

この調整は次のようなことをしているので、同じ答え(約4000分の１秒)になるのです。
地上で見ている人を基準に、走っている人と鏡の間の光の往復時間は

顔→鏡鏡→顔合計
光の速さc-vc+v
顔と鏡の距離LL
かかる時間L/(c-v)L/(c+v)2Lc/(c2-v2)
この光の往復時間に調整の式を掛けます。
(2Lc/(c2-v2))×(1-(v/c)2)1/2 ＝2L/(c2-v2)1/2

鏡を持って走っている人を基準に、走っている人と鏡の間の光の往復時間は
顔→鏡鏡→顔合計
光の速さcc
顔と鏡の距離LL
かかる時間L/cL/c2L/c

この光の往復時間を調整の式で割ります。
(2L/c)÷(1-(v/c)2)1/2 ＝2L/(c2-v2)1/2
このため、地上基準でも、走る人基準でも同じ時間になります。

お楽しみいただけたでしょうか。

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