Nifty物理フォーラム４相対論｜相対論／宇宙論970相対論の考え方[連載]あもん
これについて、全文を引用して、私の考えを述べさせていただきます。
唐突ですが、極めて簡潔に、特殊相対性理論の "啓蒙" を行ってみたいと思います。
連載は５回程度を予定していて、中学で習う数学をなんとなく覚えていれば、読め
る程度にしたいと思っています。歴史的背景、動機付け、応用にはほとんど触れま
せん。相対論とはなんたるか、ということに話を絞ります。
まずは、時空の概念から始めましょう。
太郎君が家を出発し、真っ直ぐな道を歩き学校に向かいましたが、途中で忘れ物に
気づき、家まで引き返しました。忘れ物に気づいたのは家から 100m の地点で、ま
た、家に戻ったのは出発してから３分後のことでした。
この場合、時空図（ｘ-ｔグラフ）は次のように描かれます。
ｔ（時間）
| ［図１］ A 太郎君家を出発。
| B 太郎君忘れ物に気づく。
3分 C･. C 太郎君家に戻る。
| '･.
| '･. A,B,C などは一般に「事象(event)」
| .B と呼ばれます。
| .'
| .' 線 A-B-C は太郎君の「世界線」と
| .' 呼ばれます。
|.'
0分 A---------+---- ｘ（距離） "太郎君の家" の世界線はｔ軸（縦軸）
0m 100m に他なりません。
○ｘ−ｔグラフは、人間が思考するために便利なように考え出されたものです。現実
○はAとCは重なっています。したがって、ｘ軸に対してｔ軸が垂直であることは確か
○められません。
○ C･････････B
○ 0分 A,,,,,,,,,+---- ｘ（距離）
○ 0m 100m
【問１】線分ＡＢと線分ＢＣを比べると、線分ＢＣの方が、傾きの大きさが小さい
ですが、これはどんなことを意味しているでしょうか？
○ＡからＢまでは、忘れ物に気づいていないので、普通の速度で歩いています。
○しかしＢで忘れ物に気づいたので、目的地までの時間に間に合うように急いで家に
○戻ってきたのです。このため、ＡからＢまでの１００ｍは２分くらいかかっていた
○が、ＢからＣまでの１００ｍは急いだために１分くらいで家に戻ってきたのです。
○（ＡとＣは、ともに太郎君の家です。）
ｔ
空間が２次元の場合、時空は３次元の図にな ｜ *
ります（図２）。人や粒子の運動は、やはり、 ｜ * ← 世界線
この３次元時空の中の曲線（世界線）として ｜ *
表されます。 ｜ *
｜＿* ＿＿＿ ｙ
空間が３次元の場合は、時空は４次元になるの ／ *
で、もはや絵には書けませんが、在ると想像す ／ *
ることはできるでしょう（？）。 ｘ ／ ［図２］
○３次元時空は[図２]のようには描けません。なぜなら、ｘｙは長さでありｔは時間
○なので、単位が異なるからです。３次元時空は、巻き戻しのできない映画というの
○が、当てはまります。時間を過去や未来へ自由に行き来できないので、巻き戻しで
○きないという条件が付くのです。ｘｙｔ軸を[図２]のように直交座標で表すのは、
○見やすく整理するための方法として使われているためです。ですから現実にはｔ軸
○が、画像を現すｘｙ軸に垂直であるという決まりはないのです。
○現実の世界に[図２]のような現象があるとしたら、これはちょうど、映画フィルム
○の一こま一こまを切り取って垂直に重ねた状態になります。この状態は現実のどこ
○にもありません。時間のｔ軸が長さのｘｙ軸（映画フィルムの平面）に垂直である
○ことは、現実の世界で確かめることはできません。
○４次元時空の場合も巻き戻しのできない立体映像の映画が当てはまります。
○４次元時空はフィルムが立体にならなければなりません。ですから、４次元時空も
○現実には存在しないのです。つまり４次元時空は想像の世界でのみ存在し、現実の
○世界には絶対に存在しません。
さて、時間の単位は、通常、秒（sec）です。一方、距離の単位は、通常、メート
ル（m）です。時空を考える上では、時間と距離の単位を一致させたいので、ここ
8
では、光の速さ ｃ＝3.0×10 m/sec を １ とする単位系を用いることにしましょ
う。つまり、
8 8
ｃ＝１ ∴ 3.0×10 m/sec＝１ ∴ sec＝3.0×10 m. (1)
要するに、この単位系においては、１秒を（約）３億メートルに換算しなさい、と
いうことです。こうすると、時間も長さも同じ単位で表されるようになり、一方、
速さは単位を持たないことになります。
○ 8
○ 3.0×10 m/sec
○ｃ＝−−−−−−−＝１(無単位)
○ 8
○ 3.0×10 m/sec
○
○このような関係がありますから
○
○ 8
○ 3.0×10 m/sec＝１(無単位)
○
○という等式は成り立ちません。
○なぜなら、この等式は、上のｃ＝のところに書いた分母を無視しているからです。
○したがって
○> 8 8
○> ｃ＝１ ∴ 3.0×10 m/sec＝１ ∴ sec＝3.0×10 m. (1)
○も、成り立ちません。つまり、時間secを長さmに変換できず、逆に長さmを時間sec
○にも変換できません。これは物理学では当然のことです。しかし相対論では変換
○できるのですね。これについて私は非常に驚くと共に、あきれかえっています。
【問２】ｃ＝１ の単位系では、12m/sec はどのような数になりますか？ また、
0.2 は通常の単位系で何 m/sec ですか？
○この問題は、成り立たないとして私が否定した
○ 8
○ 1sec＝3.0×10 m が成り立つとして答えるように要求されています。
○ですから、この要求通りに答えると、
○ 8 -8
○12m/sec＝12÷(3.0×10 )＝4×10 という数になります。
○もう１つは
○ 8 7
○0.2＝0.2×3.0×10 m/sec＝6×10 m/sec という通常の単位系で表されます。
○でも、m/secを無単位に変換できません。また逆に無単位をm/secに変換できません。
○したがって【問２】は、現実の世界に合致しない問題です。
時間と距離の単位が同じになったところで、２次元時空の問題に戻りましょう。
図３で、線分ＯＰの長さはどうなるでしょうか？ ｔ
:
ピタゴラスの定理から、 t Q P(t,x)
: :
2 2 2 2 2 1/2 : :
ＯＰ ＝ｔ ＋ｘ ∴ ＯＰ＝（ｔ ＋ｘ ) (2) : :
: :
（1/2 乗は平方根のことです） : :
::
と答えれば "まあまあ" です。 O‥‥･･+‥‥ ｘ
x [図３］
○OPの傾きはsec/mですから速さの逆数です。あもん様は速さを無単位としました。
○したがってOPの傾きは１／無単位＝無単位として扱えます。
○ところでOPの長さは何を表しているのでしょう。OPの長さは長さでも速度でも
○時間でもありません。したがってOPの長さは、ｃのように無単位としては扱え
○ません。
○ｘは長さmです。ｔは時間secです。線OPは時間と位置の関係を表したものです。
○しかしOPの長さには全く意味がありません。P(t,x)は、太郎さんの時間と位置
○を表す座標です。グラフ上にOPの線は書けます。しかし現実の世界に線OPは、
○どこにも存在しないのです。
○これら３つの数ｘ(m)、ｔ(sec)、OPの長さ(意味を持たない)で、ピタゴラスの
○定理を作っても、数の遊びにしか過ぎません。ピタゴラスの定理は、直角三角
○形の３辺の長さの関係だけに当てはまるものです。m、sec、意味を持たない数
○の３つの単位が異なる数で、ピタゴラスの定理を作っても意味がありません。
しかし相対論では、時空においてはこの式は成り立たない、と考えます。代わり
に、
2 2 2
ＯＰ ＝ｔ −ｘ (3)
が成り立つと考えます。このように長さ（計量構造）が定義された空間は、特に数
学において、「ミンコフスキー空間」と呼ばれます。対して、(2)が成り立つ空間
は、「ユークリッド空間」と呼ばれます。単なる符号の違いですが、慣れるまでは
かなり注意が必要です。結果、ＯＰの長さは、
2 2 1/2
ＯＰ＝（ｔ −ｘ ） (4)
となります。
○このピタゴラスの定理は、直角三角形の斜辺をOPからｔに変えています。つまり
○[図３]のt軸を線OPと入れ替えているのです。
○ t t
○ : : : :
○t Q P(x,t) P(x,t) Q
○ : : : :
○ : : : :
○ : : : :
○ : : : :
○ : : : :
○ :: ::
○ O･･････+････x O･･････+････x
長さＯＰの物理的意味はなんでしょうか？
相対論では、長さＯＰは、世界線ＯＰにおいて経過する時間、と仮定されます。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2 2 1/2
経過時間を τ＝ＯＰ とおけば、(4)は、τ＝（ｔ −ｘ ） ですが、世界線ＯＰ
が速さ ｖ の運動を表しているとするなら、ｘ＝ｖｔ なので、
2 2 2 1/2 2 1/2
τ＝（ｔ −ｖ ｔ ） ∴ τ＝（１−ｖ ） ｔ (5)
となります。これは「運動する時計が遅れること」
を意味します。（図４）
t ［図４］
:
Q‥‥‥P
: :
: :
t: : τ（＜ｔ）
: :
: :
::
O‥‥‥‥‥ ｘ
※ 速さが光速度未満ならば、０≦ｖ＜１ なので、
2 1/2
０＜（１−ｖ ） ≦１ であることに注意して
下さい。
○このグラフもt軸と、意味を持たないOPを入れ替えたグラフにしたほうが
○τ（＜ｔ）なので、長さ的には正しい図が描けます。
○ τ t
○ : :
○ P‥‥‥Q
○ : :
○ : :
○ τ: :t
○ : :
○ : :
○ ::
○ O‥‥‥+‥‥ ｘ
○ ↑x＝vt
○
○ 2 2 1/2
○τ＝（ｔ −ｘ ） この式のｔは時間、ｘは長さなので、意味不明な式です。
○物理では受け入れられない式です。相対論独特の単位を勝手に変換できると
○した状態でのみ成り立ちます。
○
○ 2 1/2
○τ＝（１−ｖ ） ｔ この式の１をｃとすれば
○
○ 2 2 1/2
○ｃτ＝（ｃ −ｖ ） ｔ となります。この式はあもん様の意に添った式です。
○τの係数は１なのでτ→ｃτとなります。
○
○この式は次の状態にピッタリ当てはまります。
○Oの位置に光源があります。
○角OPQは直角です。
○PQの長さ＝ｘ＝vtです。
○光源OからQまで光が届く時間がtです。ですからOQの長さ＝ctになります。
○光源OからPまで光が届く時間がτです。ですからOPの長さ＝cτになります。
○これで直角三角形OPQの３辺の長さが求まりました。
○これらの長さでピタゴラスの定理を作れば、あもん様の意に添った式ができます。
○
○相対論での、「長さＯＰは、世界線ＯＰにおいて経過する時間」、という抽象的な定
○義は、物理にはふさわしくありません。また時空図での長さOPは、現実には存在しません。
○私がOPの長さを前述のように定義したように、はっきりと分かりやすく、現実に合致
○するように定義してください。
○
○くどいようですが、もう少し説明を加えます。
○Qにいた時に、光源Oが発光しました。
○Qには発光してからｔ秒後に光が届きました。
○そして速度ｖでｔ秒間移動して、直角のPに着きました。
○PはQよりも光源Oに近くなっています。
○ですから、光源からPに光が届く時間τは、ｔよりも短いのです。
○このτとｔの比較は、前述のピタゴラスの定理によってできます。
○これは「運動する時計が遅れること」ではなく、距離が短くなるので、光の伝達時間
○も短くなることを意味しています。
今は２次元時空で考えましたが、４次元時空なら、
(3)は、
2 2 2 2 2
ＯＰ ＝ｔ −ｘ −ｙ −ｚ (6)
と拡張されます。ここで、ｔ は事象Ｐの時間座標、ｘ,
ｙ,ｚ は空間座標です。(6)が、４次元ミンコフスキー
空間の計量構造となります。（４次元ユークリッド空間
なら、マイナスのところが全てプラスになります。）
○ 2 2 2 2 2
○ＯＰ ＝ｔ −ｘ −ｙ −ｚ (6)
○この式もあもん様の説に従うと、
○ｘ＝ｖ(x)ｔ、ｙ＝ｖ(y)ｔ、ｚ＝ｖ(z)ｔ とすることが可能です。
○ｖ(x)、ｖ(y)、ｖ(z)は、速度ｖのｘ軸ｙ軸ｚ軸方向へのベクトル成分です。
○(6)は、
○ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
○c t ＝c τ ＋ｖ(x)ｔ＋ｖ(y)ｔ＋ｖ(z)ｔ このように書き換えられます。
○
○ τ t
○ : |vt| :
○ P‥‥‥Q
○ : :
○ : :
○cτ: :ct
○ : :
○ : :
○ ::
○ O‥‥‥+‥‥ ｘ
○ ↑＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
○ |vt|＝,/(ｖ(x)ｔ)2＋(ｖ(y)ｔ)2＋(ｖ(z)ｔ)2
○
○速度ｖ（QP方向）にOから垂線を引き、直角三角形を作図します。
○すると３辺は、上図のようになります。
○このことからc2t2＝・・・の式ができます。
○したがってτとｔの関係は「運動する時計が遅れること」ではなく、
○距離が短くなるので、光の伝達時間τがｔよりも短くなることを意味しています。
時空は、実はミンコフスキー空間で、時空における長さ
はその世界線上の時間を意味する、というのが、相対論
における基本的な仮定なのです。もっと言うと、相対論
では、時間を、時空における長さと定義するわけです。
○意味を持たない線に対して、「時空における長さが、時間を表す」と、
○勝手に仮定や定義にされても、納得できないことに変わりはありません。
【問３】ロケットが地球を出発し、１光年先の星まで行
って戻ってきた。図５はその時空図です。ロケットが地
球に戻ってきたとき、地球における経過時間は４年です
が、ロケットの経過時間はどうなっているでしょう？
ただし、加減速は図が示すように瞬時に行われたものと
します。
t
| [図５]
４年+
|*
| *
| *
| * ←ロケット
２年+ * の世界線
| *
| *
| *
|*
+----+------x
O １光年
※ １光年は光が１年かかって進む距離のことです。つまり、１光年＝光の速さ×
１年. ｃ＝１ の単位系においては、１光年＝１年 ということになります。
○【問３】は、時間ｔ軸を斜辺にした直角三角形を使って考えなさいという問題です。
○ ＿＿＿＿ ＿
○τ＝､/２2−１2 ＝､/３
○ ＿
○したがってロケットの経過時間は、２､/３年です。
○
○と答えたら、相対論では正解です。しかし物理では不正解です。
○物理では、ロケットが現在いる所まで光が届くのにかかる時間がｔです。また、
○ロケットの速度を表す直線に対して、光源から垂線を書いたとき、光源から垂線の
○距離を光が進むのにかかる時間がτです。
続きはまた。
==あもん==
○あもん様、相対論は、勝手に単位を交換できる非常識な世界なのですね。
○このような世界は物理の世界でなく、想像の世界なのですね。
○想像の世界なら何が起きても驚く必要はない、なんでもありの世界です。
○
○あもん様は、このような入門書をお書きになれる力をお持ちですから、相対論の
○間違いをあばく力は十分あると思います。でも「相ま」として馬鹿にされたくない
○ので、私のような行動は慎まれていらっしゃるのでしょう。
○地位や学識があるお方なので、十分注意して行動なさっていらっしゃるのでしょう。
○「相ま」の行動をとれば、仲間はずれにされます。生活できなくなる危険性もあり
○ます。あもん様、十分注意して行動なさってください。
○
○「相ま」は、私一人しかいないようですが、十分楽しいです。
○なぜなら、ここに書いた発言は私の本心に素直にしたがって書いているからです。
○言いたいことが素直にかけることは、十分に楽しいことです。
○地位や名誉、学歴など気にせずに書ける私は、とても楽しいのです。
お楽しみいただけましたか。
先頭へ戻ります。