相対論の考え方[連載]１
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この連載はあもん様やその他の皆様と私とがNIFTYの物理フォーラムの相対論での
コメントのやりとりをここに再掲したものです。ただし再掲については関係者の
了解を得ていません。関係者の皆様、お許しください。また加筆、訂正しました。
あもん様の発言から始まりました。
相対論の考え方［連載］(970/1239)
唐突ですが、極めて簡潔に、特殊相対性理論の "啓蒙" を行ってみたいと思います。
連載は５回程度を予定していて、中学で習う数学をなんとなく覚えていれば、読め
る程度にしたいと思っています。歴史的背景、動機付け、応用にはほとんど触れま
せん。相対論とはなんたるか、ということに話を絞ります。
まずは、時空の概念から始めましょう。
太郎君が家を出発し、真っ直ぐな道を歩き学校に向かいましたが、途中で忘れ物に
気づき、家まで引き返しました。忘れ物に気づいたのは家から 100m の地点で、ま
た、家に戻ったのは出発してから３分後のことでした。
この場合、時空図（ｘ-ｔグラフ）は次のように描かれます。
ｔ（時間）
| ［図１］ A 太郎君家を出発。
| B 太郎君忘れ物に気づく。
3分 C･. C 太郎君家に戻る。
| '･.
| '･. A,B,C などは一般に「事象(event)」
| .B と呼ばれます。
| .'
| .' 線 A-B-C は太郎君の「世界線」と
| .' 呼ばれます。
|.'
0分 A---------+---- ｘ（距離） "太郎君の家" の世界線はｔ軸（縦軸）
0m 100m に他なりません。
【問１】線分ＡＢと線分ＢＣを比べると、線分ＢＣの方が、傾きの大きさが小さい
ですが、これはどんなことを意味しているでしょうか？
ｔ
空間が２次元の場合、時空は３次元の図にな ｜ *
ります（図２）。人や粒子の運動は、やはり、 ｜ * ← 世界線
この３次元時空の中の曲線（世界線）として ｜ *
表されます。 ｜ *
｜＿* ＿＿＿ ｙ
空間が３次元の場合は、時空は４次元になるの ／ *
で、もはや絵には書けませんが、在ると想像す ／ *
ることはできるでしょう（？）。 ｘ ／ ［図２］
さて、時間の単位は、通常、秒（sec）です。一方、距離の単位は、通常、メート
ル（m）です。時空を考える上では、時間と距離の単位を一致させたいので、ここ
では、光の速さ ｃ＝3.0×10^8 m/sec を １ とする単位系を用いることにしまし
ょう。つまり、
ｃ＝１ ∴ 3.0×10^8 m/sec＝１ ∴ sec＝3.0×10^8 m. (1)
要するに、この単位系においては、１秒を（約）３億メートルに換算しなさい、と
いうことです。こうすると、時間も長さも同じ単位で表されるようになり、一方、
速さは単位を持たないことになります。
【問２】ｃ＝１ の単位系では、12m/sec はどのような数になりますか？ また、
0.2 は通常の単位系で何 m/sec ですか？
時間と距離の単位が同じになったところで、２次元時空の問題に戻りましょう。
図３で、線分ＯＰの長さはどうなるでしょうか？ ｔ
:
ピタゴラスの定理から、 t Q P(t,x)
: :
2 2 2 2 2 1/2 : :
ＯＰ ＝ｔ ＋ｘ ∴ ＯＰ＝（ｔ ＋ｘ ） (2) : :
: :
（1/2 乗は平方根のことです） : :
::
と答えれば "まあまあ" です。しかし相対論では、時空 O‥‥･･+‥‥ ｘ
においてはこの式は成り立たない、と考えます。代わり x
に、
［図３］
ＯＰ^2 ＝ｔ^2 −ｘ^2 (3)
が成り立つと考えます。このように長さ（計量構造）が定義された空間は、特に数
学において、「ミンコフスキー空間」と呼ばれます。対して、(2)が成り立つ空間
は、「ユークリッド空間」と呼ばれます。単なる符号の違いですが、慣れるまでは
かなり注意が必要です。結果、ＯＰの長さは、
ＯＰ＝（ｔ^2 −ｘ^2 ）^(1/2) (4)
となります。
長さＯＰの物理的意味はなんでしょうか？
相対論では、長さＯＰは、世界線ＯＰにおいて経過する時間、と仮定されます。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
経過時間を τ＝ＯＰ とおけば、(4)は、τ＝（ｔ^2 −ｘ^2 ）^(1/2) ですが、世
界線ＯＰが速さ ｖ の運動を表しているとするなら、ｘ＝ｖｔ なので、
τ＝（ｔ^2 −ｖ^2 ｔ^2 ）^(1/2) ∴ τ＝((１−ｖ^2 )^(1/2))×ｔ (5)
となります。これは「運動する時計が遅れること」 ［図４］
を意味します。（図４） ｔ
:
※ 速さが光速度未満ならば、０≦ｖ＜１ なので、 Q‥‥‥P
2 1/2 : :
０＜（１−ｖ ） ≦１ であることに注意して : :
下さい。 ｔ : : τ（＜ｔ）
: :
今は２次元時空で考えましたが、４次元時空なら、 : :
(3)は、 ::
O‥‥‥‥‥ ｘ
ＯＰ^2 ＝ｔ^2 −ｘ^2 −ｙ^2 −ｚ^2 (6)
と拡張されます。ここで、ｔ は事象Ｐの時間座標、ｘ,
ｙ,ｚ は空間座標です。(6)が、４次元ミンコフスキー ｔ
空間の計量構造となります。（４次元ユークリッド空間 | ［図５］
なら、マイナスのところが全てプラスになります。） 4年+
|*
時空は、実はミンコフスキー空間で、時空における長さ | *
はその世界線上の時間を意味する、というのが、相対論 | *
における基本的な仮定なのです。もっと言うと、相対論 | * ←ロケット
では、時間を、時空における長さと定義するわけです。 2年+ * の世界線
| *
【問３】ロケットが地球を出発し、１光年先の星まで行 | *
って戻ってきた。図５はその時空図です。ロケットが地 | *
球に戻ってきたとき、地球における経過時間は４年です |*
が、ロケットの経過時間はどうなっているでしょう？ +----+------ ｘ
ただし、加減速は図が示すように瞬時に行われたものと O 1光年
します。
※ １光年は光が１年かかって進む距離のことです。つまり、１光年＝光の速さ×
１年. ｃ＝１ の単位系においては、１光年＝１年 ということになります。
続きはまた。
==あもん==
先頭へ戻ります。
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