論　　文

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ローレンツ変換　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2002．02．04　記
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2010．07．07　一部改廃
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2010．09．09　一部改廃

　　　　　　　　　　　　　　　　　ローレンツ変換は理論的に正しいか
　　　　　　　Is the Lorentz transformation really correct theoretically?
　　　　　　　　　　　　　　　　Written 　by 　Masatoshi　 Ｍｉｈａｒａ

はじめに
相対性原理と光速度不変の原理から導出したローレンツ変換が本当に"正しい理論なのか否か"を見極めるため考察を行ってみる。

�T．　ローレンツ変換の導出過程
1）　ガリレイ変換
二つの座標系Ｋ（ｘ、ｙ、ｚ、ｔ）、Ｋ´（ｘ´、ｙ´、ｚ´、ｔ´）が相対速度υで運動し、時間　t＝ｔ´＝0のとき図1で示す原点O、O´が一致していたとすると、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ´＝ｘ−υt　　　　　　　　　　　　　・・・・（1）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｙ´＝ｙ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｚ´＝ｚ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｔ´＝t
この変換式をガリレイ変換という。

2）　ローレンツ変換
相対論の立場からローレンツ変換の導出過程を述べてみる。

【ローレンツ変換の導出手順】
相対論の要求する変換は（1）式のようなものではないであろう。
図1で時間t＝ｔ´＝0のとき原点O、O´が一致していたとする。その後Ｋ´はＫに対して相対速度υで右側に運動するから、
Ｋ´系の原点O´即ち、ｘ´＝0に対してｘ＝υt　あるいはｘ−υt＝0が対応しなければならない。
従って、ｘ´とｘの関係式は
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ´＝a´（ｘ−υt）　　　　　　　　　　　　・・・・（2）
のようにならなければならない。
同様にしてＫ系の原点O即ち、ｘ＝0に対してｘ´＝−υt´　あるいはx´＋υt´＝0が対応しなければならない。
従ってその関係式は
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　ｘ ＝a（ｘ´＋υt´）　　　　　　　　　　　 ・・・・（3）
次に、（2）（3）式のa´、aを求めてみる。
今、長さＬの棒をＫ系上に置いて、これをＫ´系からその長さを調べる。
Ｋ系上のＬに対してｘ₁＝0、ｘ₂＝Ｌとし、この二点をＫ´系上でｔ´＝0のときの長さｘ₁´、ｘ₂´を求めると
（3）式から0＝ａｘ₁´、即ちｘ₁´＝0、Ｌ＝ａｘ₂´
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　�凾�´＝Ｌ／ａ
同様にして長さＬの棒をＫ´系上に置いて、これをＫ系からｔ＝0のときに長さを調べる。
このときはｘ₁´＝0、ｘ₂´＝Ｌとして（2）式から0＝ａ´ｘ₁、即ちｘ₁＝0、Ｌ＝ａ´ｘ₂
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　�凾�＝Ｌ／ａ´　　　　･･･・（3´）
更に運動は相対的であるから　�凾�´＝�凾�　でなければならない。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　a´＝a　　　　　　　・・・・（4）
次にａの値を求めてみよう。図2で、ｔ＝ｔ´＝0で座標原点（O、O´）から光を発したとする。
この光の先端ＡはＫ系では ｘ　＝ｃｔ、Ｋ´系ではｘ´＝ｃｔ´まで達する（光速度不変の原理によりＫ系、Ｋ´系とも同一のｃである）。
（2）（4）及び　ｘ´＝ｃｔ´、ｘ＝ｃｔから　　　ｃｔ´＝ａ（ｃｔ−υｔ）＝ａｔ（ｃ−υ）　　　　・・・・（5）　　　　　　　　
（3）（4）及び　ｘ＝ｃｔ、ｘ´＝ｃｔ´ から　　　ｃｔ＝ａ（ｃｔ´＋υｔ´）＝ａｔ´（ｃ＋υ）　　・・・・（6）　　　　　　　　
　　　　　　　　ｔ、ｔ´を消去して

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝1／√（1-υ²／ｃ²）　 　　　　 　　　・・・・（7）
（2）（4）（7）式から
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ´＝（ｘ−υt）／√（1-υ²／ｃ²）　　 　 ・・・・（8）
（2）（3）（4）式からｘ´を消去してａを代入すると
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｔ´＝（ｔ-υｘ／ｃ²）／√（1-υ²／ｃ²）　 ・・・・（9）
　（8）（9）式をローレンツ変換という。

　 　　　　　　　　　　　　
（図　1、2　はローレンツ変換の理論^1）により再現した。図2で光源の位置は明らかでないがＫ系の原点Oにあるとした）
　1）出典；『物理学』　吉田卯三郎　竹脇又一郎修訂　三省堂

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【ローレンツ変換の導出手順説明終わり】

�U.　ローレンツ変換の導出手順に見られる問題点
　ローレンツ変換の導出手順を考察してみる。
ローレンツ変換の導出手順を見ると、ニュートン力学が成り立つベクトル座標で記述されている事が分かる。このローレンツ変換で問題になるのは、図1、2に光速度不変の原理を使用したことである。

問題点�@

図2に示すように、光の先端A点はＸ軸座標上の（ｘ）、（ｘ´）で一致していることは明らかである。ローレンツ変換では光速度不変の原理を用いてＫ系、Ｋ´系とも同一光速度ｃを使用したが、Ｋ系では光源に対して運動していないから光速度のベクトルはｃ、一方Ｋ´系では光源に対して速度υで運動しているから光速度のベクトルは相対光速度ｃ-υである。
ローレンツ変換では光速度不変の原理からＫ´系にベクトルではない”見かけの光速度ｃ”を用いて可笑しげな結論を導いたが、ここではベクトルの相対光速度ｃ-υを用いてみる。
　　　 　　　　　　　Ｋ　系では　　　　　　　　　 ｘ　＝ｃｔ　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 Ｋ´系では　　　　　　 　　　ｘ´＝（ｃ-υ）ｔ´　　　　　　　　　　　　　
（2）（4）式から　　　　　　　　　　　　　（ｃ-υ）ｔ´＝ａ（ｃｔ−υt）　　　　　　　　　　　 ∴　　ｔ´＝ａｔ　　　　
（3）（4）式から　　　　　　　　　　　　　　　　　ｃｔ ＝ａ（ｃｔ´-υt´＋υt´）　　　　 　　∴　　ｔ　＝ａｔ´　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴ａ＝1　　　　　　　　　 　　　　　　　　　
（2）（4）式から　　　　　　　　　　　　　　 　　　ｘ´＝ｘ−υt　　
（2）（3）（4）式から　　　　　　　　　　 　　　　　ｔ´＝ｔ
これはガリレイ変換そのものにほかならない。い。

問題点�A

（2）式導入の際（同（3）式）、Ｋ´系の原点O´即ち、ｘ´＝0に対して、Ｋ系の　x−υt＝0　が対応しなければならない（図1参照）として、（2）式
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ´＝a´（ｘ−υt）　　　　　　・・・・（2）　(再掲)
を導出したが、ｘ´＝0、ｘ−υt＝0　から、 （2）式を正確に記すと、
　　　　　　　　　　　　　　　　　0＝ｘ´＝a´（ｘ−υt）　　　　　・・・・（10）
である。　
　∴　ｘ´＝0、　ｘ＝υt　であり、単に原点O、O´間の距離がｘ＝υtであること、あるいは
ｘ／ｔ＝υとして、Ｋ´系の原点O´（ｘ´＝0）が速度υでＫ系を運動しているとも解釈出来る関係である。
従って、（2）（3）式から、
　ｘ´＝0、 ｘ　＝υｔ　　及び、　　　　　　　　　　　　　
　ｘ　＝0、ｘ´＝-υｔ´
の関係である。

一方、（2）式を0の対応ではなく、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　0≠ｘ´＝a´（ｘ−υt）　　　　　・・・・（11）
即ち、ｘ´に対するｘ−υtの対応と看做すと状況が一変する。

この際、 （2）式の意味はＫ、Ｋ´系間の座標系の問題ではなく、座標系ごとの、光（光子）の先端Ａ点の位置関係の対応を示すもであり（図2参照）、
ガリレイ変換の変形体そのものとなる。
∴ （2）（3）式のｘ、ｘ´は、
ｘ　＝ｃｔ　、　ｘ´＝ｃｔ´の関係であって、 ｘ　＝υｔ　、ｘ´＝-υｔ´の関係にない。
従って、（10）（11）式のｘ、ｘ´に　ｘ　＝υｔ　、　ｘ´＝-υｔ´　を代入することは出来ない。

�V.　結　論
�@　ローレンツ変換はニュートン力学の基本法則である座標ベクトルで記しているが、唯一光速度不変の原理からＫ′系の光速度にベクトルではない”見かけの光速度ｃ”を使用し、間違った結論を導いている。
�A　Ｋ′系の光速度は”見かけの光速度ｃ”ではなくベクトルの相対光速度ｃ-υを用いるのが正当派物理学の理論であり、その変換はガリレイ変換そのものである。　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
補足（1）；
　　　ｘ′＝（ｘ−υt）／√（1-υ²／ｃ²）　　 　　　 ・・・・（12）（再掲）
　　　ｔ′＝（ｔ-υｘ／ｃ²）／√（1-υ²／ｃ²）　　　 ・・・・（13）（再掲）
　　　で、ｘ＝υｔとして（13）に代入し、整理すると
　　　　　　　　ｔ′＝ｔ√（1-（υ／ｃ）²）　　　　　　 　・・・・(a）
相対論では(a)式から運動系の時間ｔ´が、静止系の時間ｔに対して遅れると解釈している。
しかし、前記問題点�Aから明らかなように、（13）式のｘにはｘ＝υｔの関係がないから、（13）式のｘにυtとして代入出来ない。（13）式のｘはA点のｘ＝ｃｔの関係である。
従って、(a）式は成立せず運動系の時間が遅れるという理論は間違いである。

補足（2）；ローレンツ変換を不変とするミンコフスキー時空は
　　　　　　　　　　　　　　　ｘ＝ｃｔ　、ｘ′＝ｃｔ′から　　　　　　　　・・・（ｂ）
　　　　　　　　　　　　　（ｃｔ′）²−ｘ′²＝（ｃｔ）²−ｘ²　　　　　　・・・（ｄ）
　　　　　　　　　　　　　（ｃｔ′）²−ｘ′²＝（ｃｔ）²（1−（ｘ/ｃｔ）^{2　　・・・（ｅ）}
　 （e）式の計量値をｃτ（＝ｃｔ′）とすると、その値は、
ｘ′＝0、ｘ/ｔ＝Vとして求めている。
∴ｃτ＝ｃｔ′＝ｃｔ√（1-(V/ｃ）²
　　　　　　　　　　　　　　　∴τ＝ｔ√（1-(V/ｃ）²・・・（ｆ）
しかし、前記問題点�Aから明らかなように、ｘ′＝0は（12）式のｘ＝ｃｔをｘ＝Vｔ（ｖ≡υ）とするから間違いである。
ｘ/ｔ＝Vは式（ｂ）より、ｘ/ｔ＝ｃのことであり、これも間違いである。
∴τ＝ｔ√（1-(V/ｃ）²は存在しない。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以上