エルデス・シュトラウスの予想の解法

・エルデス・シュトラウスの予想とは

Ｎを2以上の自然数とすると、4/Ｎ＝1/Ｘ+1/Ｙ+1/Ｚを満たす自然数Ｘ・Ｙ・Ｚが必ず存在するとエルデス・シュトラウスは予想しました。

・3つの塊で考える

@（1/Ｎ）×（Ｎ/Ｎ）とA（1/Ｎ）×（Ｎ/Ｎ+1）とB（1/Ｎ）×（1/Ｎ+1）との3つの塊を考えます。
@は1/Ｎです。Aは（1/Ｎ+1）です。Bは（1/Ｎ（Ｎ+1））です。@ABとも全て、分子は1で、分母は自然数です。

・2/Ｎ公式その1

また、A+B＝（1/Ｎ）×（Ｎ/Ｎ+1）+（1/Ｎ）×（1/Ｎ+1）＝（1/Ｎ）×（Ｎ+1）/（Ｎ+1）＝1/Ｎとなります。
故に@+A+B＝2/Ｎとなります。従って、
1/Ｎ+（1/Ｎ+1）+（1/Ｎ（Ｎ+1））＝2/Ｎ
（「2/Ｎ公式その1」と呼ぶ）は常に成立します。

・Ｎが偶数の時

Ｎが偶数の時、「2/Ｎ公式その1」にＮの半分の値を当てはめると、求める式は出来上がります。
例えばＮ＝22の場合、11を使います。
（1/11）+（1/（11+1））+（1/（11×（11+1）））＝（1/11）+（1/12）+（1/（11×12））＝（1/11）+（1/12）+（1/122） ＝24/122＝4/22となり、求める式が出来ます。

・Ｎが奇数の時

Ｎが奇数の時、Ｎは3の倍数、3の倍数+1、3の倍数+2の3通りがあります。

・Ｎ＝3ｎの時

Ｎ＝3ｎの時、@の式にはｎを使います。分母を1/3にする為、@の値は3倍になります。A+Bの式にはＮを使いますので、値は元のままです。@+A+B＝4/Ｎとなります。
例えばＮ＝9の場合、（1/3）+（1/（9+1））+（1/（9×（9+1））＝（1/3）+（1/10）+（1/（9×10）＝（1/3）+（1/10）+（1/90）＝40/90＝ 4/9となり、求める式が出来ます。

・Ｎ＝3ｎ+2の時

Ｎ＝3ｎ+2の時、A+Bの式のＮ+1の値が3ｎ+2+1＝3（ｎ+1）と3の倍数になるので、A+Bの式にＮ+1の替りに、ｎ+1を使います （Bの分母のＮはそのままです）。分母を1/3にする為、A+Bの値は3倍になります。@の式にはＮを使うので、値は元のままです。 @+A+B＝4/Ｎとなります。
例えばＮ＝11のとき、3ｎ+2＝11なので、3ｎ＝9、ｎ＝3を使います。（1/11）+（1/（3+1））+ （1/（11×（3+1）））＝（1/11）+（1/4）+（1/44）＝16/44＝4/11となり、求める式が出来ます。

・Ｎ＝3ｎ+1でＮが奇数の時

次ぎに、Ｎ＝3ｎ+1でＮが奇数の時です。Ｎは4の倍数−1、4の倍数−3の2通りがあります（Ｎ＝4の倍数、Ｎ＝4の倍数−2の時、 何れもＮは偶数となります）。

・Ｎが4の倍数−1の時、2/Ｎ公式その2を使う

Ｎが4の倍数−1の時、（Ｎ+1＝4ｎの時）@式中のＮの代わりに倍数ｎを使います。A式+B式は、（1/2Ｎｎ）+（1/2Ｎｎ） と変形します。2/Ｎ公式を
1/ｎ+（1/2Ｎｎ）+（1/2Ｎｎ）＝2/Ｎ
（「2/Ｎ公式その2」と呼ぶ）とします。
例えばＮ＝19の時、19+1＝20＝5×4なので、2/Ｎ公式その2に倍数5を使います。
（1/5）+（1/（2×19×5））+（1/（2×19×5））＝（1/5）+（1/190）+（1/190）＝40/190＝4/19となり、求める式が出来ます。

・Ｎが4の倍数−3の時、2/Ｎ公式その3を使う

Ｎが4の倍数−3（4ｎ−3とする）の場合、2Ｎ+Ｎ+1＝2（4ｎ−3）+（4ｎ−3）+1＝12ｎ−8＝4（3ｎ−2）となり 、2Ｎ+Ｎ+1は必ず4の倍数となります。2Ｎ+Ｎ+1を4で割った商である（3ｎ−2）をＰとします。即ち4Ｐ＝2Ｎ+Ｎ+1です。 その時、
（1/Ｐ）+（1/2Ｐ）+（1/2ＮＰ）＝2/Ｎ
（2/Ｎ公式その3と呼ぶ）は常に成立します。
Ｐの代わりにＰ/2＝ｐを使います。例えば、Ｎ＝37の時、（37×2+37+1）/4＝112/4＝28＝Ｐです。ですから、 ｐ＝14を2/Ｎ公式その3に使います。（1/14）+（1/（2×14））+（1/（2×37×14））＝（1/14）+（1/28）+（1/1,036）＝ （1/14）+（1/28）+（1/1,036）＝（74+37+1）/1,036＝112/1,036＝4/37となり、求める式が出来ます。
これで、「2/Ｎ公式その1・2・3」により、Ｐが奇数以外の場合、即ちＮが素数かつ24の倍数+1以外の場合について求める式が出来ました。

・結論

従って、Ｎを2以上の自然数とすると、Ｎが素数かつ24の倍数+1以外の場合、4/Ｎ＝1/Ｘ+1/Ｙ+1/Ｚを満たす 自然数Ｘ・Ｙ・Ｚが、必ず存在すると言えます。

・Ｎが素数かつ24の倍数+1の場合

エルデスシュトラウスの予想である、4/Ｎ＝1/Ｘ+1/Ｙ+1/Ｚを直すと、
@（Ｎ/Ｘ）+A（Ｎ/Ｙ）+B（Ｎ/Ｚ）＝4
です。
@Ｎ/Ｘを出来る限り4に近づけて、2つの数字ABを加えて4にするところから始めて、次第にA+Bを大きくして行きます。
Ｎ＝2×2×2×3×ｎ+1です。Ｎ+Ｔ+Ｓが8の倍数であれば、4で割りＸが出ます。その時、Ｔ+Ｓは7・15・23・31・・ と（8の倍数−1＝8ｔ−1）です。
出来る限り4に近いＸは、（Ｎ+7）/4＝（2×2×2×3×ｎ+1+7）/（2×2）＝ 2×2×2×（3×ｎ+1）/（2×2）＝2×（3×ｎ+1）です。
（Ｎ+7）/（2×（3×ｎ+1））＝Ｎ/（2×（3×ｎ+1））+7/（2×（3×ｎ+1）） ＝Ｎ/Ｘ+Ｔ/（2×（3×ｎ+1））+Ｓ/（2×（3×ｎ+1））＝4は必ず成立します。

・予想の成立する条件

この時、Ｔ/（2×（3×ｎ+1））とＳ/（2×（3×ｎ+1））が共に、1/自然数の形になれば予想は成立します。
何故なら、（Ｎ/Ｘ）+（1/ｙ）+（1/ｚ）＝4が成立すれば、両辺に1/Ｎを掛け、（1/Ｘ）+（1/（Ｎ×ｙ））+B（1/（Ｎ×ｚ）） ＝4/Ｎとなるからです。
Ｔ×Ｓが（2×（3×ｎ+1））＝Ｘの約数であれば良いのです。

・ｔ＝1の時

ｔ＝1の時、Ｔ+Ｓ＝7です。組合せは1+6＝2+5＝3+4＝7の3通りです。Ｘ＝2×（3×ｎ+1）が、1と6、2と5、3と4いずれかの約数を持てば、 成立します。2はＸの約数なので、Ｘが後3、3と2、3と5の内1組でも約数として持てば成立します。

・ｔ＝2の時

成立しない時、ｔ＝2に移ります。Ｔ+Ｓ＝15です。Ｔ+Ｓの組合せは、1+14＝2+13＝3+12＝4+11＝5+10＝6+9＝7+8＝15の7通りです。 Ｘは、（Ｎ+15）/4＝（2×2×2×3×ｎ+1+15）/（2×2）＝2×2×2×（3×ｎ+2）/（2×2）＝2×（3×ｎ+2）です。 Ｘ＝2×（3×ｎ+2）は、2を既に約数に持つので、後7、13、2と2と3、2と11、5と5、3と3と3、2と2と7何れか1組でも、 約数として持てば良いのです。

・ｔ＝3の時

　成立しない時、ｔ＝3に移ります。足して23になるＴとＳの組合わせと、Ｔ×ＳをＸ＝2×（3×ｎ+3）が約数として持つか調べます。 そうしてｔ＝4,5,6,7・・・と調べます。

・エクセルを使うと

この計算は、エクセルを使えば簡単に求められます。＝ＩＦ（ＭＯＤ（Ｘ,Ｔ×Ｓ）＝0,1,””）の算式を入力すると、 ＸがＴ×Ｓを約数に持つか否か分かります。Ｎの値が大きくなる程多くのｔを使え、又Ｘの約数が増える為、成立する可能性は高まります。

・算出例

Ｎ＝1873の時、Ｘ＝（1873+7）/4＝470＝2×5×47なので、2と5が約数にあるので、Ｔ＝2、Ｓ＝5です。 4/1873＝（1/1873）×（1873/470）+（1/1873）×（2/470）+（1/1873）×（5/470）＝ 1/470+2/（470×1873）+5/（470×1873）＝1/470+2/880310+5/880310＝1/470+2/880310+5/880310＝ 1/470+1/440155+1/176062＝（1873+2+5）/880310＝（1873+2+5）/880310＝1880/880310＝4/1873です。

また、Ｎ＝1609の時、ｔ＝2でした。Ｘ＝（1609+15）/4＝406＝2×7×29です。2×7が約数にあるので、 Ｔ＝1、Ｓ＝14の組み合わせです。4/1609＝（1/1609）×（1609/406）+（1/1609）×（1/406）+（1/1609）×（14/406）＝ 1/406+1/（406×1609）+14/（406×1609）＝1/406+1/653254+14/653254＝1/406+1/653254+1/46661＝ （1609+1+14）/653254＝1624/653254＝4/1609でした。

Ｎ＝8641などは、ｔ＝12でした。Ｘ＝（8641+95）/4＝8736/4＝2184＝2×2×2×3×7×13です。 Ｔ+Ｓ＝39+56＝95で、（1/8641）×（（8641/2184）+（39/2184）+（56/2184））＝（1/2184）+（1/483896）+（1/336999）＝ （8641+39+56）/18871949＝8736/18871949＝4/8641でした。

・予想

Ｎが大きくなる程、成立する可能性はより大きくなるので、エルデスシュトラウスの予想は成立すると予想します。