ベクトル解析奮闘記1

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はじめに

講義などで初めてベクトル解析を習った時，“難しい”，“わけわからん”と思った経験がありませんか？実は私もその一人です．いまだに詳しくはわかりませんが，これまで私が悩んだ過程をここにご紹介して，もしご参考になればと思います．

初講義前日

ベクトル解析って，ベクトルを使って問題解いたりするのでしょうか？ベクトルなら高校の数学で習ったし，要するに大きさと，方向（向き）を持つ概念ですよね？矢印作図して足し算したり，引き算したり，大きさを実数倍したり，特に始点を原点

にすれば終点の座標 (x,y) でベクトルを表せちゃいます．作図しなくても，そういう風に成分表示すれば足し算，引き算も簡単です．内積だってわかります．成分で書くと $(a,b)\cdot(c,d)=ac+bd$ とすればいいのです．簡単，なはずです．たいした事ないですよ，きっと．実は明日ベクトル解析の初講義なんですが，予習なんてしないで寝ちゃおっと・・・．

翌日初講義終了．ところが！

わー，なんなんだこれは！わからん，全くわからん！だいたい三角関数の ${\rm sin,cos}$ じゃあるまいし，なんでベクトルやるのに３，４文字英単語（ ${\rm grad}$ （グラジエント）， ${\rm div}$ （ダイバージェンス）， ${\rm rot}$ （ローテーション））や，おまけに偏微分記号まで出てくるんでしょう！もちろん ${\rm sin,cos}$ は私でもわかります，直角三角形の辺の比ですよね？（絵を書いてみればすぐわかります．）偏微分だって，他の変数（例えばで微分する場合，それ以外の y,z など）を定数と見て，微分する事でしょ？それも知ってるんだがなあ．いずれにせよこれは家に帰ってよく復習しないと．電磁気学はこれ使うって言うし・・・．

自宅で復習（gradの巻）

ここであきらめたり，あせってもしょうがないのでまずゆっくり順番に考えてみました． " ${\rm grad}$ "はえーっと" ${\rm gradient}$ （傾き）"の略ですか・・・．たしか先生が黒板に書いた式は

${\rm grad}f=(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})$

だったなー．う〜ん， ${\rm grad}$ ももちろん， $\partial$ がいかにも難しそう・・・．でも冷静に見ると，これは値が三つ組みになってるから，スカラー（ベクトルのように方向を持たないただの数値）関数から３次元のベクトルを一つ作ったようですね（どんなベクトルかはまだわかりませんが）．とりあえず，わかりやすくするためにを省いて２次元で考えると

${\rm grad} f=(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})$

あれっ，こうやってみると，の変化に対するの変化率と，の変化に対するの変化率を x,y 成分に持つベクトルのようですね．例えばを具体的に考えると

なら

$\frac{\partial f}{\partial x}=3$

　（は定数扱いでになる）

$\frac{\partial f}{\partial y}=4$

　（は定数扱いでになる）だから

${\rm grad}f=(3,4)$

となるわけですか・・・．一体このベクトルは何者でしょうか？今の場合，変数 (x,y) の変化に対するの変化率を表記する時に，方向に対する変化率は，方向に対する変化率は，ということなのですが，どちらかなら，片方だけ（数値１個）で表されるのでしょうけど，実際はそうとは限らないし，方向と方向じゃ違う方向の大きさですから， 3+4=7 と足し算するわけにもいきません．もし (1,100) なら，ほとんど方向と考えていいけど，方向も完全に無視はできないし，それぞれの方向の大きさに応じた合成方向・・・というわけですか．この数値の場合と，一般的な場合をグラフに書くと以下のようになりますね．