小学校のかけ算の問題について(5/7)

　元の掲示板でも回答しましたが、かけ算導入時には、何がいくつ、というかけ算の意味を理解させるため、理解しているかどうかを判断するため、という教え方の１つの方法が、「そうでなくてはならない。そういう決まりがある」と勘違いする人が出てきているのが現状です。

　仮にかけ算に順序を固定することで理解が促される・理解しているかどうかを判断できると仮定しても、「答えの単位が左側」という指導する人もいます。この「答えの単位が左」で理解とは無関係に教師が望む順序にできるのだから、これは教えている人自身が、順序を手段でなく目的と捉えている証拠です。

　さらに、「答えの単位は左」は、「順序を正しく書く」のための手段、つまり「手段の手段」ですが、これさえも本当にそういうルールがあると思い込み、「５×２だと１０人になるから間違い」などという教師もいます。http://suugaku.at.webry.info/201102/article_2.html
＞小学校教員
＞抑々 4 × 5 には, 4 の五倍という意味があります。 4 人の五倍では答が 20 人になってしまいます。

　かけ算を理解したら、カード式の分配や格子状に並べることで（１あたり）と（いくつ分）などの区別不可能であり、あくまでこれは最初の導入段階の方便に過ぎないと理解するはずです。ところが、教えている人自身が「順序がある」「答えの単位が左側というルールがある」と思い込んでいるわけです。また大人になっても「正しい順序がある」と頑なに信じている人がいます。

このことは、「かけ算に順序を固定することで理解が促される・理解しているかどうかを判断できる」が甚だあやしいことを示しています。

ただし、順序があると信じているかどうかはで、かけ算を理解してるかどうかは判断できると思います。

順序があると信じている人はかけ算を理解していません。

参考URL：http://suugaku.at.webry.info/201102/article_9.html

投稿日時 - 2011-12-20 15:34:08

tosa-bashさんのような掛け算に順序があるという考え方は支持できません。わたくしは、算数教育を専門に勉強したわけではありません。しかし、小学校で掛け算の順番を強制された苦しい時期から今やっている大学レベルの数学まで、掛け算の順序を正当化するような理論にふれたこともなければ、順序が必要だと痛感した実体験もありません。小学校の間はテストで不正解になるのが分かっているので順序があると信じるふりをしていましたが、中学校以降はそのような偽装をする必要はありませんでした。それでも割り算に「順番」があることも、差が負数になる引き算も、行列やベクトルの外積で交換法則が成立しないことも問題なく理解できたものです。

さて、数教協や教科書6社の提唱する「内包量（単位あたり量・１あたり量）×いくつ分の量」なる順序に賛同する根拠としてtosa-bashさんは以下のように述べておられました(7番)。

<引用>書き抜かっていました。「５×２＝１０」を×にする理由は、式が「日本語を算数の言葉に翻訳したもの」だからです。
日本語の問題文を日本語として簡略化すると「２が５つ」「２の５倍」です。それを「日本の算数の言葉（式）」に翻訳して「２×５」になる、ということです。国語で文法を教えると同じように算数の言葉の文法を教えているのだと、私は思っています。</引用>

それでは伺いますが、同じ問題文を「5つの2」または「5倍の2」と簡略化し、「5 x 2」と「翻訳」してはいけない理由は何でしょうか。「5つのバナナ」や「5倍の容量」という表現が日本語の文法に照らして適正である以上、このような簡略化を否定することはできず、「5 x 2」という「翻訳」も正当なはずです。もちろん交換法則によって「5つの2」を「2 x 5」に「翻訳」することもできます。つまり、ある問題文を簡略化する方法は1通りではありませんし、簡略化したものを「翻訳」で数式に表現する方法も1通りではないのです。現実と数式は一対一に対応するものではありません。現実のとらえ方はさまざまですし、そのとらえ方を表現する数式もさまざまです。f272さんが8番で紹介された学習指導要領が「一つの数をほかの数の積としてみることができるようにし，数についての理解を深めるとともに，数についての感覚を豊かにする」とはこのようなことを理解する能力を養うことを目標にしていると思われます。

算数教育の採点方針はこのようのものなのですね(rosavermelhaさん、5番)。
<引用>算数を受験だけではなく、実生活で使えるように、
ただテストの点数をとるためだけのテクニックよりも、
なぜそのような式になるのかという、数学的思考を小学校では大切にしているのだと思います。
実際、小学校のテストでは、式で５点、答えで５点というように配点がされていて、
「答えだけ合っていればいい」というわけではありません。
（教師のやり方という個人レベルではなく、教科書を作っている文部科学省、つまり国の方針が）</引用>
式によって、どうすれば問題を解けると考えているかというその考え方を見、答えによって、実際に正しく回答できるかをみているようです。いま述べたように式からは<考え方>は読み取れないのですが。文部科学省までこの様に考えているとするなら、残念ながら掛け算の順序は式から無理やりに<考え方>を読み取る簡便な方法として現場では採用され続けることでしょう。足し算ではなく掛け算で式を書いた時点で考え方は合格とするか、より精密に考え方を測定する方針をとるなら、図表や文章で式を補わせるようにしなければならないと思われます。

百歩譲って「内包量（単位あたり量・１あたり量）×いくつ分の量」なる順序には掛け算の学習の最初期や算数の苦手な児童にとって、混乱を防ぐ効果があるとしましょう(本当はそのような効果についての実証研究があればいいのですが)。それでもある程度掛け算に習熟した段階で「今まで掛け算に順序があるとして施行してきたローカルルールは方便だったの。これからは不正解にしないから自分のやりやすい方法でやってね。グッドラック」といったほうがいいでしょうね。

割り算の導入に役立つから順序の概念を掛け算で教えておくべきだという意見もあるようですね。掛け算それ自体にとって必要ではない概念です。また、引き算に順序が必要だからといって足し算で順序を適用するような指導方法はないのですから、割り算の導入に掛け算の順序も必要ないでしょう。

投稿日時 - 2011-12-20 11:26:31

ANo.9です。
ANo10様のお答え、勉強になりました。
.
＞「いち単位あたりの量」×「いくつ分」にこだわって指導するようになったのは数教協の影響が強いというのが定説

確かに「かけ算が新しい量を生み出す」として「内包量（単位あたり量・１あたり量）×いくつ分の量」というかけ算の見方を提唱したのは数教協で、教科書各社は時期の差はあれ、その見方を取り入れてきました。ただ、

＞遠山先生でさえ掛け算の数値の順序にはこだわっていませんでした。

は不勉強のため、コメントできませんが、

＞「いち単位あたりの量」×「いくつ分」という順序で指導することにして，でも何をいち単位の量とみるかについてはいろいろな考え方があってもよいとしていました。

は、数教協には内包量・単位あたり量・１あたり量の違いを含め、基本的な確固たる考え方があります。いろいろな考え方でよいにせよ、基本的に譲れない部分があります。だから、（場面にもよりますが）「２×５」と「５×２」は相容れる状態ではありません。だからこそ、

＞それが指導書を作る人の間では，かける数値の順序を固定する方法に

なったのではないでしょうか。

＞掛け算の導入時には順序を固定していました
＞すぐに交換法則について言及し順序を固定するのは単に指導上の便法にすぎないことは明確でした。

お説の通りだと思います。所詮かけ算も基本演算の一つ、答えを求める道具です。九九は歴史的には「５×２」のように被乗数が大きい場合は「２×５」になおして唱える「順九九」が多く用いられていて、その指導方法については「順九九か総九九か」の論争が明治から昭和初期まで続いていたとのこと、「被乗数先唱か乗数先唱か」という問題まで議論されていたそうですから、「どっちが先でも同じ」という感覚は私たちのＤＮAにすり込まれているのかもしれません。だから、

＞掛け算には正しい順序があるとするものであって常識に従っている大人には到底受け入れるいれることはできません。

と、感じる方が多いのも当然だと思います。
ですが、小学校の現場では、「日本語で表された日常的な状況を、算数国の言葉に翻訳する」という見方も伝えるということで、かけ算の導入段階では「正しい順序」にこだわっているのです。ですが、同じ小学校でも６年生の比例の学習あたりになると「１あたり×いくつ分」の順番には、必ずしもこだわれませんが…。

ここまで書いていながら言うのも変ですが、これは質問者様への回答とは思えませんから、削除されるかもしれませんね。

投稿日時 - 2011-12-19 23:46:56

#8です。

#9さん> 私がここで述べた以上の明らかな根拠があるのかもしれませんね。

歴史的にみると，今の教科書は６社ともおっしゃるようになっているのですが，つい最近までは教科書にはそのような記述はなかったのです。それではどうしてこのような指導がなされていたのかというと，教師用の指導書（6社とも）がかなり昔から順序にこだわる指導をするように書かれていたのです。順序を逆にするのは間違いであると。

「いち単位あたりの量」×「いくつ分」にこだわって指導するようになったのは数教協の影響が強いというのが定説ですが，その遠山先生でさえ掛け算の数値の順序にはこだわっていませんでした。こだわったのは「いち単位あたりの量」とか「いくつ分」とかの概念であって，その指導のための便法として「いち単位あたりの量」×「いくつ分」という順序で指導することにして，でも何をいち単位の量とみるかについてはいろいろな考え方があってもよいとしていました。
それが指導書を作る人の間では，かける数値の順序を固定する方法にすり替わっていったのです。

数教協が50年代に入ってから唱えた「いち単位あたりの量」と「いくつ分」を重視する立場より前からあった掛け算を累加あるいは倍と捉える立場でも，掛け算の導入時には順序を固定していましたが，すぐに交換法則について言及し順序を固定するのは単に指導上の便法にすぎないことは明確でした。

今の状況は，掛け算には正しい順序があるとするものであって常識に従っている大人には到底受け入れるいれることはできません。

投稿日時 - 2011-12-19 22:25:44

ＡＮo.7です。

＞５人に対して２個ずつですから、５人という基本の固まりに対して２個ずつ配る。であるから５×２となるという考え方もありではないかと思うのです。

小学校低学年（１年生も）では、かけ算に入る前に「まとめて数える」という考え方を学習します。「２ずつ」とか「５ずつ」とか「10ずつ」とかに対象物をまとめて、見やすく数えやすくする考え方です。「２ずつ」というのは「２を１セット」と見ます。今回のお菓子の問題も「ばらばらの２個」のイメージではなく「セットになった２個」「ビニル袋に入りの２個」のような状態が、小学校現場での「２個ずつ配る」です。
ですから、「Ａ～Ｅさんにまず１個配り、もう一度Ａ～Ｅさんに１個配る」というイメージにはなりません。（余談ですが、このイメージはわり算の中の等分除の指導の時に使います。）

＞２×５の順番でないとダメというのは指導要綱？に明記されているのでしょうか？

ＡＮo.8様がおっしゃるとおり、書かれていません。ですが、小学校算数の教科書を出版している会社６社全てが「これ」です。確かにＡＮo.8様のお説の通り「ローカルルール」かもしれませんが、編集方針の異なる教科書６社が「国内統一」なのです。私がここで述べた以上の明らかな根拠があるのかもしれませんね。

あと、

○○○○○
○○○○○

の件ですが、「両方あり」です。これは「２が５つ」とも「５が２つ」とも見えます。
式は「答えを出すため」に大切なだけではなく「状態を表すため」にも大切なものです。「２個のセットが５つあるし、見方を変えたら５個のセットが２つある」と見て式を２つ作るといった学習活動は、数の感覚を豊かにするとされています。
最後に使うエピソードとしては適切でないかもしれませんがお許し下さい。トイレットペーパーの包装に「110mm×60m」のような標記がありました。私は「言葉としての式・状態を表す式」を考える上で、とても参考になるなあと思ったことでした。

投稿日時 - 2011-12-19 19:23:24