小学校のかけ算の問題について(4/7)

nobody1212さんが17番で「数式は説明文です」といい、tosa-bashさんが算数国の言葉に翻訳するといっていますが、暗に、説明や翻訳の仕方を恣意的に一つだけに統一しようとしていることはとても同意できません。tosa-bashさんが5が2つとある問題文を簡約されましたが、その問題はてんむす式だと2つの5と表現できます。繰り返しますが、説明や翻訳は一つとは決まっていません。無理に一つと決めれば、採点者・教える側は理解しやすいという利点があるかもしれませんが、児童・回答する側は説明しにくい、説明が受け入れてもらえないという明らかな弊害がでてしまいます。

<引用>５人に１個ずつ配る事を２回繰り返すのは、５×２よりも５＋５の方がより正確な式の書き方になりますね。</引用>
nobody1212さんはより正確とおっしゃいますが、どの点で5 x 2は不正確でしょうか。掛け算で表現できることを足し算で表現しなければいけない理由はありません。5は[個/トランプ式配り方の回数]という単位の量で、2の単位は[トランプ式配り方の回数]だという説明を聞いてもその考えは変わりませんか。

「とある掲示板」(siffon9さんの質問ポスト)によればこのような考えこそバツをくらった小学校2年生の考え方だったのです。「単位のサンドイッチ」がちゃんとできています。百歩譲ってこの子が式で表現しようとしていた発想を説明する文なり図なりがないことを咎めることが正当だとしましょう。その場合は、当然2 x 5と書く児童にも同じだけの丁寧な説明を求めなければなりません。そうでなければある特定の考え方だけを不当に優遇していることになるからです。なぜ不当かといえば当然どちらの発想でも正解に至るからです。


<引用>例えば、Ａ＝ＢとＢ＝Ａは同じように見えますが、
空＝青と青＝空を比べると後者は何だかもやもやしませんか？</引用>
この場所でてんむすが読んだ限りの掛け算順序派のポストの背後にある考え方を、例えばnobody1212さんご自身のコメントに当てはめてみましょう。私が問題だと思うのは説明がない場合には、記号やその用い方は読み手が自由に解釈してよいという考えです。つまり恣意的な一対一対応です。上の引用文で無前提に述べられているので当て推量で「＝」とは等号のことだとみなします。まったく同様の当て推量で「空」は雲の浮かぶそらのこと、「青」は青い、だろうと考えます。

そこでこの二つを数学の記号である等号で結んだ「空＝青」と「青＝空」を検討します。まず「そら」と「青い」を前者に代入します。「そら」等号「青い」。また後者に代入すると「青い」等号「そら」。

「同じ」ということはいろいろな検証の仕方があるのですが、ここではまったく恣意的に真理値が同じであれば同じであると認めることにします。また自然言語の単語の関係にどう等号を認めるかですが、また恣意的に最低でも品詞が同じでなければならないとします。いま「青い」は形容詞、「そら」は名詞ですから、「そら」等号「青い」の真理値は偽です。また「青い」等号「そら」も偽になります。結論は前者と後者は真理値が等しいので同じである、です。

あれ、空＝青と青＝空を比べることはＡ＝ＢとＢ＝Ａは同じであることの反例じゃないじゃないですかーーー。いやー、恣意的な記号操作って本当に恐ろしいですね。このような暴力を小学生に対してふるってよいとは私には思えません。

ちゃんと親切に説明するなら、こういうことです。算数でも使う等号は左右入れ替えても意味が変わらないのです。これは定義です。広く適用される約束事では左辺に計算前の式、右辺に計算後の値を入れたり、左辺に関数の名前、右辺に関数の詳細を書くことになっていますが、これらはただ横書きの文章は左から右へ読むという制約にしたがった慣習で、右辺に式を置く表記の方が都合がよい場合もあります。その場合には慣習を逸脱することになんの制約も儲けるべきではないでしょう。

Ａ＝ＢとＢ＝Ａは絶対に同じであり、左右入れ替えても同じでないものを等号で結んではいけないのです。空＝青は本当は「そらは青い」という日本語の文を表現したものなのでしょう。これなら「青いはそら」または「青いものはそらである」のような入れ替えはおかしいという判断は正当ですね。ただしこの様な関係をより記号っぽく表現するなら等号ではなく集合の要素を表す記号を使うべきです。すなわち空∈青。これと青∈空は同じではありませんから、やはり、∈記号を使う正当さが確認できます。それでは「は」はいつでも∈に置き換えられるかというとそうでもないのでこの話題はこの辺にします。

集合論への脱線はともかく、乗算記号×や加算記号+は左右を入れ替えても意味は変わりません。変わったように見えるのは見え方、いわば錯覚です。本当は同じなので、都合や脈絡に合わせて自在に見え方をかえることは大いに奨励されてよいのではないでしょうか。一つの見方を強制するより複数の見方ができるように力づけることの方が、教師としてはより意義深い活動だと感じるはずだと、教師でも何でもないわたくし・てんむすは思いますが、この場ではそういう教師には会えないのでしょうか。

投稿日時 - 2011-12-21 14:19:01

数式は説明文です。
例えば、Ａ＝ＢとＢ＝Ａは同じように見えますが、
空＝青と青＝空を比べると後者は何だかもやもやしませんか？
５人に１個ずつ配る事を２回繰り返すのは、５×２よりも５＋５の方がより正確な式の書き方になりますね。
子供達全員が将来理数系に進むとは思いませんが、小学生のうちからこのような感覚を育むのは重要かと思います。

投稿日時 - 2011-12-21 09:18:43

tosa-bashさん(15番)は少なくとも導入段階では掛け算の順序をローカルルールとして適用する先生のようですね。
<引用>私は「新たに学ぶかけ算は、どんな知恵で成り立っているか、どう子どもたちに伝えていくか」という乗法指導初期の段階、導入段階をもとにして回答してきたつもりで、算数・数学の学習が進み抽象的になったときの乗法の「乗数・被乗数の順番」まで固定的に語ったわけではありません。</引用>

それでは、tosa-bashさんは、いつ「乗数・被乗数の順番」は方便だった、君たちはもう掛け算をマスターしたのだからこれからは好きな順番で式を書いてもよいのだと教えるのでしょうか。それまでは正しいと教え、順番どおりに書かない答案は不正解にしたり再指導で介入するのでしょうから、いつかはそれは正しくない(すくなくとも普遍的に妥当しない)ものだと教える必要があるはずですけれど。

わたくし自身が小学校で掛け算の順序を教え込まされたときは、担任教師独自のやり方かと思ったものですが、この場所で回答を書くにあたり色々調べると、日本全国で掛け算に順序が必要だと唱える先生が多いことにビックリしました。tosa-bashさんは順序を必ずしも固定的とみなしていない旨お書きですから、いつから順序を流動化させておられるのかご教示くだされば幸いです。

投稿日時 - 2011-12-21 00:55:28

何回か回答したtosa-bashです。

困りましたね。ここは議論する場ではありませんし、私もそんなつもりもありません。ですが、私が回答した内容が私の意図した理解を得ていませんので、もう少しだけ伝える努力をさせてください。
これで力が及ばなくても最後にします。

私は「乗法ではずっと被乗数・乗数の順番は決まっている」と言っているのではないのですが…。これは「逆に書いたら誤答にすべきか否か」が関係しているので、一般的にこの議論は感情的に難しくなっていますが、私は基本的には「Y＝aX」のaとXを逆に書いたことを「どう扱うか」と、最終的にはそんなに差はないと思っています。
私は「新たに学ぶかけ算は、どんな知恵で成り立っているか、どう子どもたちに伝えていくか」という乗法指導初期の段階、導入段階をもとにして回答してきたつもりで、算数・数学の学習が進み抽象的になったときの乗法の「乗数・被乗数の順番」まで固定的に語ったわけではありません。
算数の中にある人間の知恵・見方・考え方を、どう子どもたちに伝えていくかが多くの小学校教員の課題で、特に私にとっては、子どもたちの中にある感覚や自然に発している言葉が私の関心事・研究テーマになっています。

言語表現の件ですが、確かにsekibunnteisuu様がご指摘のように、日本語での表現も一つではなく、様々な表現があります。しかし、長年子ども相手に仕事をし、数多くの子どもたちに接していると、その成長段階にある子どもにとって、どのような表現が自然に多く出てくることで、一般的かを感じてきます。それを基本にしているのです。少し極端な例になりますが、例えば50程度まで物の数を数えることのできる幼児の例をみてみましょう。おはじきを数えていて、自分の数えることのできる範囲を超えた時、あきらめる子どももいますが、中には３個とか、自分でパッと把握できる数でまとまりを作っていく子どもがいます。そんな子どもに「おはじきはいくつある？」と問うと、「分からない」という子どもたちの中に「３つが○つある」と答える子どもがいます。それが自然な表現だと思います。「調査」というほど多数ではありませんが、そういう表現との出会いの経験が私の基本です。
もう一つの側面です。例えば８個のおはじきは、大人でも「一目で見て８個と分かる」ことは困難で、数えて確かめることになります。でも、２個ずつのまとまりが４つあったら、２年生の子どもたちでも大多数がパッと見るだけで絵に描いたりして再現でき、九九を知らなくても総数まで数えて分かります。それは「２が４つ」と覚えることができるからです。だから、そんな覚え方をもとに「２が４つ、これは便利な見方だね。それを算数の世界では２×４と書くのですよ。」と位置づけます。そして「２が４つ、２×４と同じように表せるものを探してみよう」と進めるというのが私の中にある「かけ算導入」の流れです。
そんな見方が「かけ算にかかわる人間の知恵」だと思います。そういう知恵・見方・考え方を伝えるために、導入段階では「基本文型として順番にこだわる」のだと、私は思っています。

今回のお菓子の問題で、数字の出た順番通りに立式したことを「○にするか×にするか」は私も問題だと思っていますが、「是か非か、一言問うか放置するか」に関して私の考えていることの根本は以上のようなことです。

投稿日時 - 2011-12-20 23:12:38

私も算数が専門なわけではないので、途中からよくわからなくなってきましたが…。

２年生という発達段階も関係しているのかなぁと思いました。
つまり、４年生なら理解できることでも、２年生には理解できないのだと。

４年生の算数で出てきたと思うのです、確か。

例えば、
「１００円の鉛筆５本と、５０円のけしごむ５個を買う場合の値段の合計」
というような問題です。

図で考えると、（○＝鉛筆、×＝けしごむ）

　　　○○○○○
　　　×××××

なら、
縦２個をワンセット（鉛筆一本＋けしごむ一個）という考え方でもいいし、
横５個（鉛筆５本、または、けしごむ５個）をワンセットという考え方でもいいわけで。

「いろいろな"ワンセット"が作れるね、いろいろな考え方があるね」
というような方向で教科書には書かれていたと思います。

つまり、２年生の段階では、
「２個ワンセットを５人に配る」というワンパターンにとどめ、
「１個ずつ配って、再度配る」という「別の見方」はあえてさせないのだと思います。
混乱させないために。

「５つの２」が理解できるためには、その「２」がバラバラのものではなく、「ワンセットだ」という意識が必要ですが、
そのようなイメージは、２年生にとっては「抽象的」であり、
「２が５つ」の方が、
２年生にとってイメージしやすい、のではないでしょうか？

ではなぜ、
「５つの２」をバツにするかといったら…これは想像ですが、
頭の良い子たちはいいのです。でもそうでない子たちにとっては、
「どういうイメージかなんてどーでもいい、問題文も読まなくていい、問題文に出てくる数字だけ拾って掛け算すりゃーいい」
なんてことにもなりかねないからかな？と思います。

投稿日時 - 2011-12-20 21:34:23