数学カテゴリと迷ったのですが、こちらで質問させていただきます。
とある掲示板で、小学2年生の算数の問題が話題になっていました。
「子供が5人います。お菓子を2個ずつ配ると、お菓子は全部で何個になりますか？」
回答は以下のとおりだそうです。
2×5=10 ○
5×2=10 ×
元の掲示板では、その様に教える様に指導されているとのことですが
下の式が×になる理由がわかりません。
どの様な理由によるものなのでしょか？
よろしくお願いします。
投稿日時 - 2011-12-18 09:15:41
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天むす名古屋です。しばらくこの掲示板に来ないでベンチ番を決め込んでいましたが、20番でtosa-bashさんにコメントをいただいたのは積分定数さんではなくわたくしだと気づいて、またコメント致します。
のできる断片を切り取り、断片同士を量や単位の概念で操作まずは基本事項の確認。掛け算に正しい順序はありません。それは単に数と数の関係を扱う「計算」の世界にだけ当てはまる事実ではなく、現実世界から数で表すことする、算数でいういわゆる文章題の世界でもそうなのです。やや異なる文脈ですが、遠山啓がユーモラスに表現しているとおりです。「もし有限の集合において数える順序にしたがって計数が違うようなことがあったら、いったいどんなことになるだろう。そうしたら『10枚の千円札を20枚に数える秘訣』というような本が飛ぶように売れるだろう」(『無限と連続』)。掛け算に順序が<ない>ことは、ある種のルールを歩行者が赤信号で道路を横断したり、自転車で車道の右側を走ったりして人間が勝手に破ることができるのとは、わけが違います。現実世界からもっとも抽象的な理論の世界まで、交換法則は妥当します。
してみると、掛け算に順序を定めるのは、個々の状況に応じた便宜上の定めでしかありません。経理伝票やレシートに会社ごとにことなるかもしれない掛け算の順序があるように、算数の教育もなんらかの順序を採用していることでしょう。はたしてtosa-bashさんによれば教科書には統一的な順番があるそうです。
<引用>教科書には５年生にも６年生にも「１あたり×いくつ分＝全体」に類する記載があります。これは「必ず」あります。</引用>
教育界での地位が児童、生徒、学生であったことしかないわたくしには順番のないリストのように見えますが、「教師用の教科書」にはこの記述は順番を厳密に指定しているので「いくつ分×１あたり＝全体」は指導の対象にするべきであると書いてあるのでしょう。「先人の知恵に基づき、小学校教科書６社の記述に沿った内容」であるとか「常識のように受け継いできた」文化であるというだけでは、数字があっているからといって順番が違うので正解ではないという方針の根拠としては不十分だと思います。もし小学校教科書６社や文化や慣例の権威に基づいて掛け算に順番があると主張するなら、より大きな権威である学習指導要領が掛け算の順番を否定していることとどのように折り合いをつけるのでしょうか。ある権威にしたがわない(文部科学省の指導要領にしたがわないというのは、個人的にはとても魅力的な考え方です)なら、ほかの権威とたまたま意見を同じくする場合でも、なぜ同意するのか合理的な説明をするべきです。さらに、「順番はどうでもよくない」という考え方は教えるための方便に過ぎないのに、有害な副作用がおおく知られています。部数かける単価の順で注文書を送ってきた客を嘲笑する会社員や、長方形の面積を横かける縦で「立式」した答案を不正解とする無能な教師などは、算数教育の研究団体で報告されているかどうかは寡聞にして知りませんが、必ずしも少数の例外ではないようです。前者は自己責任のような気がしますが、後者は看過できません。特定個人の無能さを責めるためではなく、教育には個々の教師の能力に質を左右されるにはあまりにも重要な事項が存在すると信じるからです。数学の素養豊かな教師は掛け算の順番という方便をつかって見事に四則演算を教えている、のかもしれません。しかしこの方便は能力の低い教育者(教育者が高い能力をもっていることは重要ですが、かならずしもいつでも実現可能とは限らない)の手にあってはかなり有害だということが判明しつつあるのではないでしょうか。
わたくしが18番を書いたとき、このような弊害は、児童が方便である掛け算の順序にあまりにも長い間なれていたために、もう順番は気にしなくてもよいと明示的に指導された後でも順番にこだわっているからだと思っていました。しかし「基本的に、小学校の間は『この順序での立式』で通します」という回答を読んで、もう順番は気にしなくてもよいという明示的な指導はなく、また掛け算の導入の時点でこの順序は方便だけれどわかりやすいから採用するという断りもなさそうだと分かってしまいました。となると掛け算に正しい順序はないということを一度も教わる機会がない児童がでる可能性があることになります。小学校では教わらないし、中学校ではそもそも小学校で学習指導要領と関係のない指導が行われたかどうかを調査する責任がないからです。小学校で導入した方便は小学校のうちに明示的に解除するのが正当だと思います。中学校に進めば自然にランドセルを使わなくなるように、掛け算の順序を自分の考えで破棄できる児童、生徒ばかりではないことは、上の例を見れば明らかです。
20番の回答を読んでもうひとつ感じたのは、「１あたり×いくつ分＝全体」という順序が掛け算の理解を促進するという「方便」としての効用も検討する必要があるということです。tosa-bashさんはこの順番を制定する根拠として自然言語からの類推を挙げておられます。
<引用>かけ算の順番にこだわることは「日本語の順番に従ってのこと」と述べました。イメージしやすい普通に使う言葉と関連付けるのが子どもたちの感覚に沿った道筋だと思うからです。</引用>
再度書きますが、日本語では「2が5個」も「5個の2」も文法的な表現であり、自然言語は「いくつ分×１あたり＝全体」という順序さえも正当化します。どちらの順序を採用するにしても、あくまでも教科書の表記や教師による説明の慣例に留めるべきであって、児童の表記は自由でよいと思います。
tosa-bashさんは同意されるかどうか分かりませんが、いろいろ調べると、掛け算の順序を規則として定めるのは「児童の発達程度に応じた」指導法であるという論旨が繰り返されます。これは「１あたり×いくつ分」と「いくつ分×１あたり」が同じであることが児童には分からないといっているに等しいです。ところで、乗算記号や加算記号は、演算子としての機能を度外視すれば、二つの数を等位に結ぶ連結子ということでは共通です。そこで児童が他にも等位の連結子を知らないかどうか検討し、知っていたらそれからの類推で「乗算には正しい順番はない」ことを理解させることは、少なくとも掛け算の順序を制定するのと同じくらい論理的に妥当でしょう。児童は知っています。助詞の「と」がこの例です。「リンゴとミカンを食べた」は「ミカンとリンゴを食べた」と同じ意味の文です。したがって、掛け算を順序という方便に頼らないと理解できない児童の発達程度というのは、この2つの文が同じ意味だと分からないレベルだということです。ことわざになったの朝三暮四は猿に対する明らかな過小評価ですから、ましてや人間の7歳児なら当然理解できます。乗算記号は等位の連結子だといっても児童には理解できないでしょうが、大事なのは抽象的な用語を導入することではなく用語の表す概念をある程度でよいので理解させることです。助詞の「と」を例示すればよいでしょうし、物理的な連結子を見せるのも役立つでしょう。たとえば2枚の穴あきカードを1つのリングでまとめたとき、リングは上下どちらかのカードの「もの」ではなく、どちらの「もの」でもある、のように。
順番を固定することの利点としてよく主張されるのが、児童が文章題を理解しないのに単に問題文に出た順番に機械的に計算しているかどうかチェックするという考え方です。しかしそれでは「１あたり×いくつ分＝全体」を機械的に問題文に適用しているケースを検出することができません。このような児童がいる可能性を想定することは、少なくとも問題文に出た順番に計算する児童を想定するのと同じぐらい合理性があるということは直ちに了解できるでしょう。もともと乗算は可換なので順番に着目することで理解・不理解を測定できるはずがないのです。可換な演算は「適切な役者さえそろえば、役者がどの順序で登場してもよい芝居」のようなものです。したがって理解度のチェックは、不適切な役者を紛れ込ませた文章題に正しく答えるかどうかや、必要な役者がいない文章題を「回答できない」と判断できるかどうかで行うべきです。
このポストでは「１あたり×いくつ分＝全体」の検討に集中しましたが、20番を読む中で「何算か」を判断することで問題をとく態度や「立式」という概念など、掛け算の順序に限らず、算数教育一般に関していろいろ理解しがたい点がでてきました。その中から一つだけ取り上げます。
<引用>数学の世界では普遍的な形だからと言って円の面積を「円周率×半径×半径」とはしません。</引用>
これはなにかの間違いだと思いますが、面積の公式を証明するときに円を縦=半径、横=円周率×2×半径/2の長方形に変形することから、正しくは「半径×円周率×半径」の順であるという意見が存在するのでしょうか。だとしたら「円周率×半径×半径」は交換法則を使って掛け算を整理した例といえますね。
投稿日時 - 2011-12-27 22:52:41
No.7での質問者様のお礼欄を拝読して、少々気になりましたので。
>本の固まりは２個であり、それが５人分であるから２×５になる
>５人に対して２個ずつですから、５人という基本の固まりに対して２個ずつ配る。であるから５×２となる
子どもが、そう説明したのなら、二重丸を付けて大いに褒めてあげればいいですね。
でも、大人が子供の書いた2×5＝10や5×2＝10という式を見ただけて、上のように対応付けて考えてしまっては駄目です。
子どもが書いた式を、その子に尋ねて、たとえば全く逆に、
「基本の固まりは2個だとして、それが5人分だから、5×2で10になるんだ」
「5人が基本の固まりだから、それに2個ずつ配るから、2×5で10だよ」
と説明してくれても、二重丸で大正解です。私は上記の説明にケチの付けようがないと考えます。
掛け算のどこにも、「（基本となる）固まり×それが幾つ」などというルールはありません。順序を逆にして「（基本となる）幾つにするか×固まり」でもいいのです。掛け算において、基本となるもの（の数）がある、と考えること自体が間違いの始まりだとも言えます。
時として、「（掛け算は）被乗数に乗数を掛ける」という説明もありますが、被乗数も乗数も式の順番を見て、便宜的に区別するときだけの話です。
被乗数にはこういう数でないといけない、とか、乗数はこういう数を選ぶべき、とかは有害無益な考え方です。
子どもの答えを見る大人として、掛け算においては結果が同じだから順番がどうでもいい、と思うのは間違いで、掛け算の性質（本質・定義）としてどちらでもいいからです。
少し、数学基礎論から自然数の乗法について説明しましょう。
自然数（0, 1, 2, 3, …）からm, nを選び、n'＝n + 1とすると、乗法「×」は以下のように帰納的に定義されます（「+」という足し算は既に定義されているとします）。
１．m×0＝0
２．m×n'＝(m×n) + m
こういう定義ですから、mを自然数からどう選んだとしても、掛ける数（乗数）が0, 1, 2, 3, …と増やせて行けますから、足し算の拡張として、どんな二つの自然数でも掛け算ができます。
ちなみに、足し算と同様に掛け算は、答も自然数になってくれますね。
引き算だとマイナスもあるので答の数を整数まで、割り算あるいは同じことである分数も、答は有理数まで拡張しないといけません。自然数かでしか習っていない前提だと、引き算では「できない」、割り算では「余り」ということが必要です。
さて、じゃあ「基本の固まり」はやっぱりmじゃないか、という疑問も出ます。答えはもちろん「いいえ」です。これは算数を超えて、しかし算数の元になり基本的な正しさを支える数学、その数学の正しさを支える数学基礎論です。
こういう数学基礎論では、物の数といった具体的な現実の数を「自然数」という抽象概念まで高めて、数学の正しさを保証しているわけです。こういう乗法の定義の前に、具体的な物に縛られない自然数というものを定義しておいて、そこから演算について定義しています。
そして、この議論は自然数の掛け算についてですから、行列の乗法だったら、とか、ベクトルの乗法では、とか言い出したら、切り捨てて構いません。一言、「何の話をしているか分からないなら、数学基礎論から見直してこい」でお終いです。
ちなみに、数学基礎論では「数学原論」という大著があります。300ページ以上を数学の定義に費やして、ようやく「だから数学では1 + 1＝2としてよいのである」と述べています。そんな当たり前のことに、それだけ労力を費やしているわけです。それでも数学基礎論をやる人は、「数学原論はまだまだ甘い」と言います。普段、何げなく電卓やエクセルでしている計算は、そこまで理論的に正しさが保証されているわけです。
掛け算に戻ると、そういう風にしてできている数学の乗法、つまり掛け算ですから、そこに具体的な物である「基本の固まり」とか、それに対応する「それが幾つ」というものはありません。あってはならないのです。そんな条件付きでは、数学は条件付きでしか応用できなくなりますから。
大元である数学が、徹底的に抽象化された世界で成り立つとしているからこそ、正しく使えばどんな分野にも数学が使えます。そして数学の一部分である算数はもちろんのことです。
算数は実用のために使うものです。その起源は数学まで高められていない商取引などの実用計算などですし、実際に算数を使うのも、それであることに間違いはありません。
ただし現在の算数は、経験論的な実用計算を寄せ集めたものではなく、純粋なまでも抽象化された数学を経由して、実用に供するに使いやすいように作られた学問です。
そこに、ルールとして余計な物を付け加えることは許されません。ルールは数学を逸脱してはいけません。それでは、算数の正しさを数学が保証できません。数学から逸脱したルールを持つ裏切り者の算数を勝手に作って、子どもに教えてはいけません。
ただ、教えるにあたって、いきなり純粋に抽象化されたものでは無理です。そこで便宜的に、そして実用に富むよう、現実の物と対応付けて学んでいくようにするわけですね。
そこで「基本的な固まり」と「それが幾つ」という便宜も大いに有用です。その二つを掛け算すれば欲しい答えが出ると分かってもらえればいいわけです。
もし、そこまで分かっても、「どっちから式を書き始めていいか分からない」と言う子もいるでしょう。そうしたら、その子が最も分かりやすいように掛ける数の順序を決めてあげればいいのです。その順序は慣れるまでの便宜的なものであることは言うまでもありません。
小学校で教える先生も、クラスの多数の子どもに対して一人で教えます。そのクラスはたくさんあります。さらに小学校もたくさんあります。いろんな子ども同士で掛け算の話をすることも、当然あるでしょう。
そこを考えるなら、先生が個別の子どもではなく、教壇で掛け算のやり方を説明する方法は、統一しておいた方が良いですね。
まだ、掛け算の取り掛かったばかり、掛け算、ひいては算数、さらには数学の表面をなんとか読み取ろうとしている子どもですから、二人以上の子が掛け算の話をして、
「ぼくが聞いた掛け算はこうだよ」
「あれ、わたしが聞いた掛け算は違うよ」
「えー、どっちが正しいのかなあ？」
などと無用に悩むような事態は避けるべきです。
九九を覚える過程で、掛け算の順序はどっちでもいいと気が付いたり、長方形を立てたり寝かせたりしても同じ面積だと気が付いたりします。
子どもがそういう応用に入ったら、「そうだね、それは」と教えて見たり（そもそも可換については後で習いますが）、子ども同士がワイワイと話しているのを見守って、もし間違った方向に考えが進むようなら、ちょっとヒントを与えて行けばいいことです。
だから掛け算の順序を云々するのは、算数に入ってもらうための便宜的なものなんですね。つまり、嘘も方便の類です。
ならば教える大人のほうは掛け算の順序を、入口にうまく入ってもらって、慣れてもらうための便宜的なもの、ときちんと認識する必要があります。
たとえ教科書指導書に「こう教える（のがよい）」とあっても、それが唯一無二の真理であるかどうか、きちんと考えねばなりません。
もしそれが自分の教わった通りであっても、子どもが違うことを言ったら、自分がそう教わったという理由だけで言下に却下してはいけません。
調べ直してみて、子どもの言い分を考えてやらねばなりません。ましてや、言い分も聞かないようではいけません。多数の子どもを相手に大変な苦労ですけど、それが「子どもに教える」ということの義務です。
まあ相手が大の大人なら、「馬鹿もん、勉強し直してこい」なんてことで済ますことも多いですけれども(^^;。実際に大人になっても掛け算に順序があると信じ込んでいる人もいましてね。
見積書や請求書に、品名・数量・単価・合計の順で並んでいるのを見て、「馬鹿でえ、こいつ。掛け算の順序間違ってやんの（笑）」とかね。馬鹿はお前のほうだ、客に分かりやすいように並べるもんだ、と(^^;。
投稿日時 - 2011-12-23 16:41:41
補足
教師が求める「型」を再現できる子が「理解している」とは限らない。
普通の通分は難なくできる。方程式も解ける。
という子に、１／ａ＋１／ｂの通分や、ａｘ＋ｂ＝ｃをｘについて解くように言ったらできなかった。
具体的数字ならできるが文字になるとできないと言うのは一般的によくあるがこの子のできなかった理由は私からしたら意外な者だった。
「通分は最小公倍数でないとならないので、ａ，ｂだとそれが分からないのでできない」
「方程式は係数が分数や小数なら全体に何かを掛けて分数や小数を消してからやらないとならないが、ａ，ｂ，ｃだと整数なのか分数、小数なのかが分からない」
というものでした。
教師の目には模範解答をする「出きる子」と認識されていると思います。
１／２０＋１／５＝５／１００＋２０／１００＝２５／１００＝１／４
０．３ｘ＋０．２＝１．４ ０．３ｘ＝１．２ ｘ＝１．２÷０．３＝４
などとする子は「やり方が違う」と注意されるかも知れません。
でもこうやる子は、「模範解答と違ったやり方と違う方法でも答えに行き着く」という点では、模範解答以外では駄目だと思い込んでいる子よりも正しく理解しているとも言える。
前のコメントでも書いたように
７００円の３割を求める方法は多様であり、１００円の３割が・・・と考える子は割合を理解している。
「くもわ」に当てはめて「教師の求める正しい答え」を出せる子が理解しているとは限らない。
（ｘ＋３）^2 公式を覚えてなくて、括弧を１つずつはずすような子の方は、（ｘ＋３）^3も解く子とができる。
公式を使ってぱっと解く子は、３乗では「そんなのならっていない」などと言いかねない。
「連立方程式の解き方は加減法と代入法がある」ときっちりと覚えている子よりも、「何法だか知らないがとにかくなんかやって文字を片方落とせばいい」と言う子の方が未知数が３つのときにも柔軟に対応できる。
高校生に教えていていつくづく思うが、「型をしっかり覚える」という勉強をしてきた場合、中学までは何とかなるが、高校で躓く。
時速４kmで３時間歩く場合の距離 も 縦４横３の長方形の面積と同じように捉えていて、どちらがいくつ分かなんて意識しない子の方が伸びる可能性が高いと思う。
化学のモル計算が苦手な子が多い。
物質量が２倍なら質量も２倍というのは割と分かるのだが、物質量は同じで分子量が２倍なら質量も２倍というのがわかりにくいらしい。かけ算の順序をさんざん言われたからではないかと、疑念を持っている（これに関してはよく分からない）。
（１あたり）と（いくつ分）の区別よりも、積を長方形のように捉えて、縦が２倍なら面積２倍、横が２倍でも面積２倍、という考え方の方が重要である。
投稿日時 - 2011-12-23 13:17:56